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O dono de uma granja quer construir um cercado retangular aproveitando um muro já existente. As dimensões do cercado podem variar, desde que o comprimento da parte cercada, sem contar o muro, seja 36m (perímetro igual a 36), pois o granjeiro só tem 36 m de tela. A área �� desse cercado em função de �� é A = x.(36 – 2x). O granjeiro quer um cercado que tenha maior área. Responda: (2 pontos)

a)Qual é essa área máxima?
b)quais devem ser as dimensões do cercado para obter a área máxima?
c)As dimensões do cercado podem variar, determine através de intervalo real todas as dimensões possíveis (domínio da função).
d)A área do cercado também varia, determine através de intervalo real todas as áreas possíveis (imagem da função).

Sagot :

williamcanellas

Resposta:

As solução são:

a) A área máxima do cercado é de 162 m².

b) As dimensões do cercado de área máxima são 9 m e 18 m.

c) As dimensões do cercado podem variar de acordo com o intervalo 0 < x < 18.

d) A área do cercado pode variar no intervalo 0 < A < 162.

Explicação passo a passo:

Para responder a esta questão vamos utilizar conceitos relacionados as coordenadas do vértice de uma função quadrática e inequações.

De acordo com as informações temos que as dimensões do cercado são x e 36 - 2x, cuja área é dada por A(x) = x . (36 - 2x).

Assim temos:

a) A(x) = - 2x² + 36x que é uma função quadrática com a concavidade voltada para baixo, pois a = - 2 < 0, logo possui vértice como ponto de máximo.

xv = - b / 2a

xv = -36 / -4

xv = 9

A(9) = 9.(36 - 2.9) = 162 m²

b) As dimensões do cercado de área máxima são 9 e 18.

c) As dimensões devem ser positivas para que a questão faça sentido.

x > 0 e 36 - 2x > 0 ⇒ x < 18

O intervalo em que as dimensões podem variar é 0 < x < 18.

d) Para as dimensões 0 < x < 18 a área pode variar entre 0 < A < 162.

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