Aqui nós queremos a distância entre um ponto e uma reta.
Primeiro nós temos que obter a equação desta reta. Pelas informações do exercício a cidade "X" está no ponto (-160, 0) e a cidade "P" está no ponto (0, 120).
Pelo ponto "P" descobrimos o coeficiente linear:
[tex]ax+b=y\\0a+b=120\\b=120[/tex]
Com o coeficiente linear "b" e o ponto "X" descobrimos o coeficiente angular:
[tex]ax+b=y\\-160a+b=0\\-160a+120=0\\-160a=-120\\160a=120\\4a=3[/tex]
[tex]a=\frac{3}{4}[/tex]
Assim temos a equação reduzida da reta que representa R103:
[tex]y=\frac{3}{4}x+120[/tex]
Vamos ter que colocá-la na forma geral:
[tex]\frac{3}{4}x-y+120=0[/tex]
[tex]3x-4y+480=0[/tex]
Sabemos que do ponto X até o Y são 300km, e do Y até o Z são 160km. Então de Z (a origem do plano cartesiano) até Y são 140km, o que faz Y estar localizada no ponto (140, 0)
Agora que temos a equação da reta e as coordenadas do ponto podemos finalmente determinar a distância entre os dois:
[tex]d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2} }[/tex]
[tex]d=\frac{|3\cdot 140+(-4)\cdot 0+480|}{\sqrt{3^2+(-4)^2} }[/tex]
[tex]d=\frac{|420+480|}{\sqrt{9+16} }[/tex]
[tex]d=\frac{|900|}{\sqrt{25} }[/tex]
[tex]d=\frac{900}{5}[/tex]
[tex]d=180[/tex]
Com isso concluímos que a menor distância em linha reta entre a cidade Y e a rodovia R103 mediria 180km
