✅ Após ter realizado todos os cálculos concluímos que as medidas do comprimento e largura são respectivamente:
[tex]\large\begin{cases}C = 20\:u\\L = 8\:u \end{cases}[/tex]
A área "S" de um retângulo é igual ao produto entre o comprimento "C" e a largura "L", ou seja:
1ª [tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}S = C\cdot L \end{gathered}$}[/tex]
Se:
[tex]\large\begin{cases}S = 160\:u^{2}\\C = L + 12 \end{cases}[/tex]
Substituindo os valores na 1ª equação, temos:
[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}160 = (L + 12)\cdot L \end{gathered}$}[/tex]
[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}160 = L^{2} + 12L \end{gathered}$}[/tex]
[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}L^{2} + 12L - 160 = 0 \end{gathered}$}[/tex]
Chegamos a uma equação do segundo grau, cujos coeficientes são:
[tex]\large\begin{cases}a = 1\\b = 12\\c = -160 \end{cases}[/tex]
Calculando o valor de delta temos:
[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\Delta = b^{2} - 4\cdot a\cdot c \end{gathered}$}[/tex]
[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}= 12^{2} - 4\cdot1\cdot(-160) \end{gathered}$}[/tex]
[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}= 144 + 640 \end{gathered}$}[/tex]
[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}= 784 \end{gathered}$}[/tex]
Aplicando a fórmula de Bhaskara, temos:
[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}L = \frac{-b \pm\sqrt{\Delta}}{2\cdot a} \end{gathered}$}[/tex]
[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}= \frac{-12 \pm\sqrt{784}}{2\cdot1} \end{gathered}$}[/tex]
[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}= \frac{-12 \pm28}{2} \end{gathered}$}[/tex]
Obtendo as raízes temos:
[tex]\Large\begin{cases}L' = \frac{-12 - 28}{2} = \frac{-40}{2} = -20\\L'' = \frac{-12 + 28}{2} = \frac{16}{2} = 8 \end{cases}[/tex]
Como o retângulo é uma figura real, então o valor da largura é:
[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}L = 8\:u \end{gathered}$}[/tex]
Como a medida do comprimento "C" excede em 12 unidade a medida da largura, então:
[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}C = L + 12 = 8 + 12 = 20\:u\end{gathered}$}[/tex]
✅ Portanto:
[tex]\large\begin{cases}C = 20\:u\\L = 8\:u \end{cases}[/tex]
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