Resposta:
A razão entre a medida do lado do triângulo e o lado do quadrado é [tex]\frac{\sqrt{6}}{2}[/tex].
Explicação passo a passo:
No caso do quadrado, observe o triângulo retângulo ABD formado pela reta ligando dois vértices opostos e dois lados do quadrado. O comprimento da hipotenusa é igual ao diâmetro D = 2 * R da circunferência, onde R é o raio. Como os lados l do quadrado são iguais podemos escrever pelo Teorema de Pitágoras:
l^2 + l^2 = 50^2
2*l^2 = 2500
l^2 = 2500/2
l = raiz(2500/2)
l = 50 * raiz(1/2)
No caso do triângulo, vamos supor que seja um triângulo isósceles, e então seus lados são todos iguais. Observe o triângulo ABC formado na figura pelas linhas que unem o centro da circunferência a dois dos vértices do triângulo isósceles, e um dos lados do mesmo. Essas linhas cortam os ângulos desses vértices, que são de 60°, em ângulos de 30º. O ângulo formado pelas duas retas, que se cruzam no centro da circunferência, é de 120º, pois a soma de todos os ângulos do triângulo formado deve ser 180°.
Mas sabemos da Lei dos Senos, que se aplica a um triângulo qualquer, que as razões entre os senos dos ângulos e seus lados opostos são iguais, então:
L / sen 120° = R / sen 30°
L / (raiz(3)/2) = R / (1/2)
2 * L / raiz(3) = 2 * R
L / raiz(3) = R
L = R * raiz(3) = 25 * raiz(3)
Portanto a razão entre o lado L do triângulo e o lado l do quadrado é:
L / l = 25 * raiz(3) / 50* raiz(1/2)
L / l = raiz(3) / 2 *raiz(1/2)
L / l = raiz(3*2) / 2
L / l = raiz(6)/2
