Resposta:
Explicação passo a passo:
basta observar o triângulo retângulo de catetos (raio unitário) e (tangente) e hipotenusa (secante)
aplicando Teorema de Pitágoras
hipotenusa² = cateto² + cateto²
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sec²x = 1² + tg²x
sec²x = 1 + tg²x
Para demostrar essa identidade, irei utilizar outras duas. Sendo uma delas a identidade trigonométrica fundamental. ( sin²x + cos²x = 1 ).
Lembrando a que tangente é igual a razão do seno pelo cosseno. ( tanx = sinx/cosx ). Lembrando também que a secante é igual a razão do um pelo cosseno. ( secx = 1/cosx ).
[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 1+\tan^2 (x) = \sec ^2 (x) \end{gathered}$}[/tex]
Substitua na identidade a tangente por sinx/cosx e a secante por 1/cosx.
[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 1+\left( \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \right)^2 = \left(\frac{1}{\cos(x)}\right)^2 \end{gathered}$}[/tex]
[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 1+\frac{\sin^2 (x)}{\cos^2 (x)} = \frac{1}{\cos^2(x)} \end{gathered}$}[/tex]
Agora podemos chamar 1 de cos²x / cos²x . Ficando assim uma soma de frações com denominadores iguais.
[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \frac{\cos^2(x)}{\cos^2(x)} +\frac{\sin^2 (x)}{\cos^2 (x)} =\frac{1}{\cos^2(x)} \end{gathered}$}[/tex]
[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \frac{\cos^2(x)+\sin^2 (x)}{\cos^2 (x)} = \frac{1}{\cos^2(x)} \end{gathered}$}[/tex]
Agora temos que utilizar a incrível identidade fundamental trigonométrica. ( sin²x + cos²x = 1 ). Logo:
[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \frac{\cos^2(x)+\sin^2 (x)}{\cos^2 (x)} = \frac{1}{\cos^2(x)} \end{gathered}$}[/tex]
[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\therefore \boxed{\boxed{\green{ \frac{1}{\cos^2 (x)} = \frac{1}{\cos^2 (x)}}}} \ \ c.q.d.\ \checkmark \end{gathered}$}[/tex]
Identidades trigonométricas.
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