Resposta:
Explicação passo a passo:
Inicialmente, observe que a fórmula é verdadeira para n = 1, pois
ela se reduz à igualdade a1 = a1.
Suponha, agora, que a fórmula seja correta para algum n 2 N,
isto é, que an = a1qn¡1. Multiplicando por q ambos os lados dessa
igualdade, segue que
an+1 = anq = a1qn¡1q = a1qn;
o que mostra que a fórmula é correta para n + 1. Portanto, ela é
correta para todo n 2 N.
Vamos, a seguir, achar uma fórmula para a soma Sn dos n
primeiros termos de uma P.G.
Vejamos se, animados pelo “truque” de Gauss, achamos uma
solução inteligente para esse problema.
Escreva
Sn = a1 + a1q + a1q2 + ¢ ¢ ¢ + a1qn¡1:
Note que
qSn ¡ Sn = a1q + a1q2 + ¢ ¢ ¢ + a1qn¡1 + a1qn
¡a1 ¡ a1q ¡ a1q2 ¡ ¢ ¢ ¢ ¡ a1qn¡1
= a1qn ¡ a1:
Portanto,
Sn = a1qn ¡ a1
q ¡ 1
= anq ¡ a1
q ¡ 1 :