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prove pelo princípio da indução matemática que o termo geral progressão:
geometrica é an = a1qn^1

Prove Pelo Princípio Da Indução Matemática Que O Termo Geral Progressão Geometrica É An A1qn1 class=

Sagot :

Resposta:

Explicação passo a passo:

Inicialmente, observe que a fórmula é verdadeira para n = 1, pois

ela se reduz à igualdade a1 = a1.

Suponha, agora, que a fórmula seja correta para algum n 2 N,

isto é, que an = a1qn¡1. Multiplicando por q ambos os lados dessa

igualdade, segue que

an+1 = anq = a1qn¡1q = a1qn;

o que mostra que a fórmula é correta para n + 1. Portanto, ela é

correta para todo n 2 N.

Vamos, a seguir, achar uma fórmula para a soma Sn dos n

primeiros termos de uma P.G.

Vejamos se, animados pelo “truque” de Gauss, achamos uma

solução inteligente para esse problema.

Escreva

Sn = a1 + a1q + a1q2 + ¢ ¢ ¢ + a1qn¡1:

Note que

qSn ¡ Sn = a1q + a1q2 + ¢ ¢ ¢ + a1qn¡1 + a1qn

¡a1 ¡ a1q ¡ a1q2 ¡ ¢ ¢ ¢ ¡ a1qn¡1

= a1qn ¡ a1:

Portanto,

Sn = a1qn ¡ a1

q ¡ 1

= anq ¡ a1

q ¡ 1 :

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