120cm é a distância entre o objeto e a imagem e eles estão localizados nos pontos antiprincipais.
A imagem abaixo ilustra o caminho ótico da luz.
Com as equações descritas na imagem, é possível deduzir a equação de Gauss para as lentes que é:
[tex]\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{p'}[/tex]
Mas o nosso interesse será provar que, se a imagem e o objeto tiverem o mesmo tamanho, então [tex]p = p'[/tex].
Além disso também mostramos que [tex]p = 2f[/tex]
A partir dos triângulos [tex]T_1[/tex] e [tex]T_2[/tex], usamos as relações de semelhança de triângulos:
[tex]\dfrac{o}{p-f}=\dfrac{-i}{f}\implies\boxed{\dfrac{f}{p-f}=\dfrac{-i}{o}}[/tex]
A partir desta equação, podemos mostrar que se a imagem e o objeto tiverem o mesmo tamanho, então [tex]p=2f[/tex]:
[tex]\frac{f}{p-f}=\frac{-i}{o}[/tex] e como a imagem é invertida e de mesmo tamanho que [tex]o[/tex]:
[tex]\frac{f}{p-f}=\frac{-(-o)}{o} \implies \frac{f}{p-f} = 1[/tex]
[tex]\frac{f}{p-f} = 1 \implies f = p-f \implies p =2f[/tex]
Já na imagem de baixo ao usar a semelhança de triângulos obtemos a seguinte igualdade:
[tex]\dfrac{o}{p}=\dfrac{-i}{p'} = \boxed{\dfrac{p'}{p}=\dfrac{-i}{o}}[/tex]
Assim podemos concluir que [tex]p=p'[/tex].
Juntando estes dois resultados e usando o foco [tex]f=30cm[/tex]:
[tex]p=p'=2f =2\cdot 30cm \implies p = p' = 60cm[/tex]
Como [tex]p[/tex] e [tex]p'[/tex] são as distâncias em relação à lente, então a distância entre o objeto e a imagem é [tex]p+p' = 120 cm[/tex]
