Resposta: Raízes : -1; -1; (2 + 3i) e (2 - 3i)
Explicação passo a passo:
x^4 - 2x³ + 6x² + 22x + 13 = 0
Se 2 + 3i é uma raiz (no caso complexa) então o conjugado dela também será um raiz. O conjugado de (2 + 3i) é (2 - 3i).
Então duas raízes já são conhecidas.
Chame de " t " e " u" as outras raízes e aplique as relações de Girard.
Soma das raízes = 2/1 = 2 {Coeficiente do termo x³ com sinal trocado dividido pelo coeficiente de x^4}
Soma = 2 + 3i + 2 - 3i + t + u = 2
2 + 2 + t + u = 2 => t + u = 2 - 4 => t + u = - 2 (Eq I)
Produto das raízes = 13/1 (termo independente dividido pelo coeficiente de x^4)
Produto = (2+3i)(2-3i)t.u = 13
(4+9)t.u = 13 => 13t.u = 13 => t.u = 1 (Eq II)
Resolvendo o sistema das Eq I e Eq II
t = u = - 1 (duas raízes iguais)
As raízes são, -1; -1; (2 + 3i) e (2 - 3i)
(*) t + u = -2 e t.u = 1 => u = 1/t
t +(1/t) = -2 => t² + 1 = - 2t => t² +2t + 1 = 0 =(t+1)² = 0 => t = -1
u = 1/t = 1/(-1) = - 1
