Resposta:
O conjunto unitário {0} com as operações de soma e multiplicação por um número real, é um espaço vetorial.
Explicação passo a passo:
Um conjunto V, com as operações de soma (+) e multiplicação por números reais (*), é um espaço vetorial sobre o conjunto dos números reais R se:
1) V é fechado sob as operações + e *:
a + b ∈ V, se a ∈ V e b ∈ V
k * a ∈ V, se a ∈ V e k ∈ R
Em nosso caso, 0 + 0 = 0 ∈ V e k * 0 = 0 ∈ V, então V é fechado sob as operações + e *
2) A operação + é associativa:
Para todos a, b, c em V,
a + (b + c) = (a + b) + c
Mas 0 + (0 + 0) = (0 + 0) + 0, portanto a operação + é associativa.
3) Existe um elemento identidade, chamado vetor zero, sob a adição:
a + 0 = 0 + a = a, a ∈ V
Mas 0 + 0 = 0 + 0 = 0, o elemento 0 ∈ V é o vetor zero.
4) Todo elemento tem um inverso aditivo:
Para todo a ∈ V, existe -a ∈ V tal que a + (-a) = -a + a = 0.
No caso, dado o vetor 0, o vetor -0 obedece à regra: 0 + (-0) = -0 + 0 = 0
5) A operação + é comutativa:
a + b = b + a, a ∈ V e b ∈ V.
Em nosso caso,
0 + 0 = 0 + 0
Portanto o conjunto unitário {0} é um espaço vetorial sobre R.
