Temos as seguintes informações:
[tex] \sf f(x,y) = 2x + y {}^{2} \: \: e \: \: \gamma(t) = (2t,t {}^{2} )[/tex]
A questão quer saber a integral de linha desta função f(x,y) sobre a curva parametrizada y. Devemos lembrar que a integral de linha sobre uma curva é descrita como:
[tex] \sf \int _ C f(r(t)) \: \cdot \: | |r'(t)| | \: dt \\ [/tex]
Vamos primeiro calcular a função f(r(t)), que é basicamente substituir as informações da função da curva parametrizada na função f(x,y):
[tex] \sf \gamma(t) = (2t,t {}^{2} ) \: \to \: \begin{cases} \sf x = 2t \\ \sf y = t {}^{2} \end{cases} \\ \\ \sf f(x,y) = 2x + y {}^{2} \: \to \: \: f( \gamma(t)) = 4t + t {}^{4} [/tex]
Agora vamos encontrar a derivada da função parametrizada:
[tex] \sf\gamma (t) = (2t,t {}^{2} ) \: \to \: \gamma '(t) = (2,2t)[/tex]
Para encontrar a norma desta expressão, basta tirar o módulo deste vetor:
[tex] \sf | |\gamma '(t) | | = \sqrt{2 {}^{2} + (2t) {}^{2} } \\ \sf | |\gamma '(t) | | = \sqrt{4 + 4t {}^{2} } \: \: \: \: \: [/tex]
Substituindo estas informações na integral:
[tex]\sf \int _ C (4t + t {}^{4}) \: \cdot \: ( \sqrt{4 + 4t {}^{2} }) \: dt \\ \\ \sf \int _ C t(4 + t {}^{3}) \: \cdot \: ( \sqrt{4 + 4t {}^{2} }) \: dt[/tex]
Como é informado na questão, o "t" varia de 0 a 1, portanto, estes são os limites da integral:
[tex] \boxed{ \boxed{ \sf \int_{0}^{1} t(4+ t {}^{3}) \: \cdot \: ( \sqrt{4 + 4t {}^{2} }) \: dt }}\\ [/tex]
Espero ter ajudado
