Sagot :
Explicação passo a passo:
[tex]a)\left \{ {{x+2y+z=8} \atop {2x-y+z=3}} \atop {3x+y-z=2} \right.[/tex]
Vamos fazer um sistema com duas variáveis (x e y) e eliminar o z.
Para isso, some primeiro a primeira equação com a terceira equação
para eliminarmos o z.
x + 2y + z = 8
3x + y - z = 2
4x + 3y = 10
Agora, some a segunda equação com a terceira equação para
eliminarmos o termo z.
2x - y + z = 3
3x + y - z = 2
5x = 5
Temos o seguinte sistema
[tex]\left \{ {{4x+3y=10} \atop {5x=5}} \right.[/tex]
Podemos calcular o valor de x na segunda equação
5x = 5 → x = 5 ÷ 5 → x = 1
Substitua o valor de x na primeira equação para calcular o y.
4x + 3y = 10 → 4 · 1 + 3y = 10 → 4 + 3y = 10 → 3y = 10 - 4 →
3y = 6 → y = 6 ÷ 3 → y = 2
Como já temos os valores de x e y, substitua-os em qualquer
equação do sistema de três variáveis para calcularmos o z.
x + 2y + z = 8 → 1 + 2 · 2 + z = 8 → 1 + 4 + z = 8 → 5 + z = 8 →
z = 8 - 5 → z = 3
Portanto, x = 1, y = 2 e z = 3
=========================================================
[tex]b)\left \{ {{x+y+z=12} \atop {2x-y+2z=12}} \atop {x-y-3z=-16}\right.[/tex]
Vamos resolver este sistema de um outro jeito.
Na primeira equação, isole a variável x.
x + y + z = 12 → x = 12 - y - z
Agora substitua-o nas outras duas equações para formarmos um
sistema de duas variáveis.
2x - y + 2z = 12 x - y - 3z = -16
2 · (12 - y - z) - y + 2z = 12 12 - y - z - y - 3z = -16
24 - 2y - 2z - y + 2z = 12 -2y - 4z = -16 - 12
-3y = 12 - 24 -2y - 4z = -28
-3y = -12
O sistema será
[tex]\left \{ {{-3y=-12} \atop {-2y-4z=-28}} \right.[/tex]
Podemos calcular o y na primeira equação.
-3y = -12 → y = -12 ÷ (-3) → y = 4
Substitua o valor de y na segunda equação para calcularmos o
valor de z.
-2y - 4z = -28 → -2 · 4 - 4z = -28 → -8 - 4z = -28 → -4z = -28 + 8
-4z = -20 → z = -20 ÷ (-4) → z = 5
Como já temos os valores de y e z, substitua-os em qualquer
equação de três variáveis para calcular o x.
x - y - 3z = -16 → x - 4 - 3 · 5 = -16 → x - 4 - 15 = -16 →
x - 19 = -16 → x = -16 + 19 → x = 3
Portanto, x = 3, y = 4 e z = 5
=========================================================
[tex]c)\left \{ {{3x+2y-z=0} \atop {x+3y+z=1}} \atop {2x+2y-2z=2}\right.[/tex]
Isole a variável x da segunda equação e substitua na primeira e
segunda equações.
x + 3y + z = 1 → x = 1 - 3y - z
3 · (1 - 3y - z) + 2y - z = 0 2 · (1 - 3y - z) + 2y - 2z = 2
3 - 9y - 3z + 2y - z = 0 2 - 6y - 2z + 2y - 2z = 2
-7y - 4z = -3 -4y - 4z = 0
O sistema será
[tex]\left \{ {{-7y-4z=-3} \atop {-4y-4z=0}} \right.[/tex]
Multiplique a primeira equação por -1
-7y - 4z = -3 × (-1)
-4y - 4z = 0
7y + 4z = 3
-4y - 4z = 0
3y = 3 → y = 3 ÷ 3 → y = 1
Substitua o valor de y em qualquer equação do sistema para calcular
o z.
-7y - 4z = -3 → -7 · 1 - 4z = -3 → -7 - 4z = -3 → -4z = -3 + 7 →
-4z = 4 → z = 4 ÷ (-4) → z = -1
Como já temos os valores de y e z, substitua-os em qualquer
equação do sistema de três variáveis para calcular o x.
x + 3y + z = 1
x + 3 · 1 + (-1) = 1
x + 3 - 1 = 1
x + 2 = 1
x = 1 - 2
x = -1
Portanto, x = -1, y = 1 e z = -1
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