Inicialmente, vamos entender em que consiste a técnica de prova por redução ao absurdo.
Seja o seguinte argumento:
[tex]\Large\text{$P_1,\,P_2,\,\ldots,\,P_n\vdash Q.$}[/tex]
Para provar sua validade usando a técnica de redução ao absurdo, supomos que a negação da conclusão [tex](\sim\!Q)[/tex] é verdade e, assim, deduzimos uma contradição.
Desse modo, tal técnica consiste em demonstrar a validade do seguinte argumento:
[tex]\Large\text{$P_1,\,P_2,\,\ldots,\,P_n,\,\sim\!Q\vdash C,$}[/tex]
sendo [tex]C[/tex] uma contradição qualquer do tipo [tex]A\,\wedge\sim\!A.[/tex]
Nesta questão, deseja-se provar, por redução ao absurdo, o seguinte argumento para todo [tex]n[/tex] inteiro:
Se [tex]n^3+5[/tex] é ímpar, então [tex]n[/tex] é par.
Veja que temos a premissa [tex]p: n^3+5[/tex] é um número par e a conclusão [tex]q: n[/tex] é par.
Usando a técnica de absurdo, vamos introduzir a negação da conclusão como premissa, ou seja, [tex]\sim\!q: n[/tex] é ímpar.
Agora temos que provar a validade do argumento a seguir:
[tex]\Large\text{$p,\,\sim\!q \vdash C.$}[/tex]
Para tanto, suponha que [tex]n^3+5[/tex] é ímpar e [tex]n[/tex] é ímpar. Desse modo, existe [tex]k\in\mathbb{Z}[/tex] tal que [tex]n=2k+1.[/tex] Assim sendo, segue que:
[tex]\Large\begin{aligned}n^3+5&=(2k+1)^3+5\\\\&=(2k)^3+3\cdot(2k)^2\cdot1+3\cdot(2k)\cdot1^2+1^3+5\\\\&=8k^3+3\cdot4k^2+6k+1+5\\\\&=8k^3+12k^2+6k+6\\\\&=2(4k^3+6k^2+3k+3).\end{aligned}[/tex]
Como [tex]k\in\mathbb{Z},[/tex] então [tex](4k^3+6k^2+3k+3)\in\mathbb{Z}.[/tex] Supondo [tex]4k^3+6k^2+3k+3=m,[/tex] temos
[tex]\Large\text{$n^3+5=2m\quad(m\in\mathbb{Z}).$}[/tex]
Logo, [tex]n^3+5[/tex] é par. Veja que chegamos a uma contradição: [tex]n^3+5[/tex] é ímpar e par, ao mesmo tempo.
Assim, está provado por redução ao absurdo que, para [tex]n\in\mathbb{Z},[/tex] se [tex]n^3+5[/tex] é ímpar, então [tex]n[/tex] é par.
Para ver uma questão relacionada, acesse: brainly.com.br/tarefa/48025103.
