Resposta:
a)
5 diagonais no pentágono
35 diagonais no polígono de 20 lados
b)
com 54 diagonais polígono de 12 lados
com 119 diagonais polígono de 17 lados
c) Por isso não há polígono convexo com 13 diagonais
Explicação passo a passo:
Observação 1 → Cálculo nº diagonais polígonos convexos
A Fórmula é:
[tex]\dfrac{n^2-3n}{2}[/tex] onde n = número de lados do polígono convexo.
Para calcular o número de diagonais substitui-se "n" pelo número de lados do polígono convexo.
a)
Pentágono = 5 lados
[tex]pentagono=\dfrac{5^2-3*5}{2}=\dfrac{25-15}{2} =5[/tex]
[tex]poligono(10lados)=\dfrac{10^2-3*10}{2}=\dfrac{100-30}{2} =\dfrac{70}{2} =35[/tex]
b)
Com 54 diagonais
Sabendo o número das diagonais, igual a fórmula a esse número, obtemos
o número de lados
[tex]\dfrac{n^2-3n}{2}=54[/tex]
[tex]\dfrac{n^2-3n}{2}=\dfrac{54}{1}[/tex]
produto cruzado
n² - 3n = 2 * 54
n² - 3n = 108
n² - 3n - 108 = 0
Fórmula de Bhascara
x = ( - b ± √Δ ) /2a com Δ = b² - 4 *a *c a ≠ 0
n² - 3n - 108 = 0
a = 1
b = - 3
c = - 108
Δ = ( -3 )² - 4 * 1 * ( - 108 ) = 9 + 432 = 441
√Δ = √441 = 21
x1 = ( - ( -3 ) + 21 / (2 * 1 )
x1 = ( 3 + 21 ) / 2
x1 = 24/2
x1 = 12
x2 = ( - ( -3 ) - 21 ) / 2
x2 = ( 3 - 21 ) / 2
x2 = - 18/2
x2 = - 9
rejeitar esta solução pois o nº de lados de um polígono não é negativo
Com 119 diagonais
[tex]\dfrac{n^2-3n}{2}=119[/tex]
[tex]\dfrac{n^2-3n}{2}=\dfrac{119}{1}[/tex]
produto cruzado
n² - 3n = 238
n² - 3n - 238 = 0
a = 1
b = - 3
c = - 238
Δ = ( - 3 )² - 4 * 1 * ( - 238 ) = 9 + 952 = 961
√Δ = √961 = 31
x1 = ( - ( - 3 ) + 31 ) /(2*1)
x1 = ( 3 + 31 ) /2
x1 = 34 /2
x1 = 17
x2 = ( 3 - 31 )/2
x2 = - 28/2
x2 = - 14
rejeitar esta solução pois o nº de lados de um polígono não é negativo
c)
[tex]\dfrac{n^2-3n}{2}=13[/tex]
[tex]\dfrac{n^2-3n}{2}=\dfrac{13}{1}[/tex]
produto cruzado
n² - 3n = 26
n² - 3n - 26 = 0
a = 1
b = - 3
c = - 26
Δ = ( - 3 )² - 4 * 1 * ( - 26 ) = 9 + 104 = 113
√Δ = √113 = 10,63
Sendo Δ um número não inteiro as raízes virão em valores não inteiros.
Não há polígono com número de lados decimais, têm que ser positivos
e inteiros.
Por isso não há polígono convexo com 13 diagonais
Bons estudos.
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( * ) multiplicação ( / ) divisão
