✅ A transformação linear associada a matriz dada é [tex] \rm T(x{,}\,y) = (x{,} \, x + 9y{,}\,x+3y ) [/tex].
☁️ Definição de transformação linear:
“Sejam [tex] \rm V [/tex] e [tex] \rm W [/tex] espaços vetoriais sobre um conjunto [tex] \rm K [/tex] de escalares. Dizemos que uma aplicação [tex] \rm T: V \to W [/tex] é uma transformação linear, se satisfizer as duas condições a seguir: ”
[tex] \Large\underline{\boxed{\boxed{\begin{array}{lr} \rm i) \; \forall \; \vec{v}_1 \land \vec{v}_2 \in V \Rightarrow T(\vec{v}_1 + \vec{v}_2) = T(\vec{v}_1) + T(\vec{v}_2) \\\\ \rm ii) \; \forall \; k \in K \land \vec{v} \in V \Rightarrow T(k\vec{v}) = kT(\vec{v}) \end{array}}}} [/tex]
☁️ Matriz de uma transformação linear:
“Sendo [tex] \rm V[/tex] e [tex] \rm W [/tex] espaços vetoriais com dimensões finitas e seja [tex] \rm T: V\to W [/tex] uma transformação linear. Seja, ainda, [tex] \rm \phi = \{(v_1{,}\, v_2{,}\ldots{,} \, v_n)\} [/tex] e [tex] \rm \beta = \{(w_1{,}\, w_2{,}\ldots{,}\, w_n)\} [/tex] bases dos espaços [tex] \rm U [/tex] e [tex] \rm V [/tex] respectivamente, é fácil deduzir a seguinte equação, tendo em vista que preserva-se as operações usuais de adição e multiplicação por escalar ”
[tex] \large\begin{array}{lr}\rm [T(v)]_{\beta} = \begin{bmatrix}\rm a_{11} & \rm a_{12} &\rm \ldots& \rm a_{1n}\\ \rm a_{21} & \rm a_{22} &\rm \ldots& \rm a_{2n} \\ \rm \vdots & \rm \vdots & \rm \vdots &\rm \vdots \\ \rm a_{m1} & \rm a_{m2} &\rm \ldots& \rm a_{mn} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \rm k_{1}\\ \rm k_2\\ \rm \vdots \\ \rm k_n\end{bmatrix} = [T(v)]_{\beta}^{\phi} \cdot [v]_{\phi}\end{array} [/tex]
❏ Na qual [tex] \rm [T]_{\beta}^{\phi} [/tex] representa a transformação linear em relação às bases [tex] \rm \phi [/tex] e [tex] \rm \beta [/tex] e é dita a matriz da transformação linear nas bases [tex] \rm \phi [/tex] e [tex] \rm \beta [/tex].
✍️ Vamos aplicar esses conceitos e resolver a questão!
❏ Dada a matriz da transformação linear [tex] \rm [T]^{B}_{B'} [/tex]
[tex] \large\begin{array}{lr}\rm [T]^{B}_{B'} = \left[ \begin{array}{cc} \rm 0& \rm 2\\ \rm - 1& \rm 0\\ \rm 1& \rm3\end{array} \right]\end{array} [/tex]
❏ Partindo da definição, e sabendo que a transformação converte um vetor do plano em um vetor do espaço ( [tex] \rm \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3 [/tex]), podemos escrever a transformação linear dos vetores da base [tex] \rm B [/tex] como uma combinação linear dos vetores da base [tex] \rm B' [/tex], cujos escalares são o conjunto imagem dos vetores da base [tex] \rm B [/tex] escritos na base [tex] \rm B'[/tex]. Esse conjunto imagem, por definição são as colunas da matriz da transformação linear. Sendo assim:
[tex] \large\begin{array}{lr}\rm T(1{,}\, 0) = 0(0{,}\,3{,}\,0) -1(-1{,}\,0{,}\,0) + 1(0{,}\,1{,}\,1) = (1{,}\,1{,}\,1)\\\\\rm T(0{,}\, 1) = 2(0{,}\,3{,}\,0) +0(-1{,}\,0{,}\,0) + 3(0{,}\,1{,}\,1) = (0{,}\,9{,}\,3)\end{array} [/tex]
❏ Tomando um vetor arbitrário [tex] \rm \vec{v} = (x {,}\, y ) \in \mathbb{R}^2[/tex], é viável escreve-lo como uma combinação linear dos vetores da base [tex] \rm B [/tex], que por sinal é a base canônica, o que deixa trivial.
[tex] \large\begin{array}{lr}\rm \vec{v} = ( x{,}\, y) = x (1{,}\,0) + y(0{,}\,1)\end{array} [/tex]
❏ Veja que agora podemos escrever isso como uma transformação linear do vetor [tex] \rm \vec{v} [/tex], o que é viável, pois temos a transformação dos vetores da base ( Note que estou usando as condições dadas na Def. i )
[tex] \large\begin{array}{lr}\rm T(\vec{v}) = T(x{,}\,y) = T\left(x(1{,}\,0) + y(0{,}\,1)\right) = T(x(1{,}\,0)) + T(y(0{,}\,1))\end{array} [/tex]
❏ Pela condição de que uma transformação linear deve preservar a multiplicação usual por um escalar ( Veja a def.ii de transf. linear )
[tex] \large\begin{array}{lr}\rm T(\vec{v}) = T(x{,}\,y) = xT(1{,}\,0) + yT(0{,}\,1)\end{array} [/tex]
❏ Isso é bom, pois anteriormente disse que sabia a transformação dos vetores da base [tex] \rm B [/tex]. De fato, sei. Foi a primeira coisa que calculamos.
[tex] \large\begin{array}{lr}\rm T(\vec{v}) = T(x{,}\,y) = x(1{,}\,1{,}\,1) + y(0{,}\,9{,}\,3)\\\\\rm T(\vec{v}) = T(x{,}\,y) = (x{,}\,x{,}\,x) + (0{,}\,9y{,}\,3y) \\\\\red{\underline{\boxed{\boxed{\rm \therefore\:T(x{,}\,y) = (x{,}\,x+9y{,}\,x+3y)}}}}\end{array} [/tex]
✅ Essa é a transformação linear associada a matriz dada.
❏ Seção de links para complementar o estudo sobre transformação linear, matriz de uma transformação linear:
- https://brainly.com.br/tarefa/10201129
- https://brainly.com.br/tarefa/7345837
[tex]\rule{7cm}{0.01mm}\\\texttt{Bons estudos! :D}\\\rule{7cm}{0.01mm}[/tex]
