Nas condições dadas, o valor de
[tex]\Large\text{$\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n}$}[/tex]
é igual a
[tex]\Large\text{$-\dfrac{5}{4}.$}[/tex]
_____
Seja uma equação do segundo grau da forma
[tex]\Large\text{$ax^2+bx+c=0\quad(a\neq0)$}[/tex]
cujas raízes são [tex]r_1[/tex] e [tex]r_2.[/tex]
Pelas relações de Girard, temos:
[tex]\Large\begin{cases}r_1+r_2=-\dfrac{b}{a}\\\\r_1\cdot r_2=\dfrac{c}{a}\end{cases}[/tex]
Desse modo, para a equação
[tex]\Large\text{$2x^2-5x-4=0,$}[/tex]
cujas raízes são [tex]m[/tex] e [tex]n,[/tex] valem as seguintes relações:
[tex]\Large\begin{cases}m+n=-\dfrac{(-5)}{2}=\dfrac{5}{2}\\\\m\cdot n=\dfrac{-4}{2}=-2\end{cases}[/tex]
A questão pede o valor de
[tex]\Large\text{$\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n}$}.[/tex]
Manipulando algebricamente esta última expressão, temos:
[tex]\Large\begin{aligned}\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n}&=\dfrac{m+n}{m\cdot n}.\end{aligned}[/tex]
Veja que o numerador corresponde à soma das raízes e o denominador, ao produto delas.
Como [tex]m+n=\dfrac{5}{2}[/tex] e [tex]mn=-2,[/tex] seque que:
[tex]\Large\begin{aligned}\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n}&=\dfrac{m+n}{m\cdot n}\\\\&=\dfrac{\dfrac{5}{2}}{-2}\\\\&=\dfrac{5}{2}\cdot\dfrac{1}{-2}\\\\&=\dfrac{5\cdot1}{2\cdot(-2)}\\\\&=-\dfrac{5}{4}.\end{aligned}[/tex]
Portanto, o valor procurado é igual a
[tex]\Large\boxed{\boxed{\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n}=-\dfrac{5}{4}.}}[/tex]
Para aprender mais sobre equações do segundo grau, acesse os links a seguir:
- brainly.com.br/tarefa/47211771;
- brainly.com.br/tarefa/46366727.
