A forma fatorada do polinômio é
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}x^3 - 2x + 1 = \left(x-1\right)\left(x -\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)\left(x +\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)\end{gathered}$}[/tex]
Uma maneira rápida de fatorar esse polinômio exige um pouquinho de intuição, neste caso é para visualizar que 1 é uma raiz do polinômio, com isso o teorema de D'Alembert nos garante que o polinômio é divisível por (x-1), realizando a divisão de polinômios (vide anexo) obtemos que
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}x^3 - 2x + 1 = \left(x-1\right)\left(x^2+x-1\right)\end{gathered}$}[/tex]
Agora note que temos um polinômio de segundo grau, agora podemos calcular suas raízes e fatorar, neste caso as raízes serão
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\begin{cases}x_1 =\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} &\Rightarrow x_1 = \frac{\sqrt{5}-1}{2}\\ \\x_2 =\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} &\Rightarrow x_2 = -\frac{\sqrt{5}+1}{2}\end{cases}\end{gathered}$}[/tex]
Atenção ao sinal de menos na frente do x₂.
Portanto a forma fatorada é
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}x^3 - 2x + 1 = \left(x-1\right)\left(x -\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)\left(x +\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)\end{gathered}$}[/tex]
Espero ter ajudado
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