Para resolver esta questão, vamos usar as seguintes propriedades de divisibilidade de números inteiros.
Divisibilidade
Sejam [tex]a,\,b,\,c\in\mathbb{Z}.[/tex] Valem as seguintes propriedades:
(i) [tex]a\mid 0;[/tex]
(ii) Se [tex]a\mid b,[/tex] então [tex]a\mid bc.[/tex]
(iii) Se [tex]a\mid b[/tex] e [tex]a\mid c,[/tex] então [tex]a\mid b+c.[/tex]
Antes de fazer a demonstração, vamos relembrar o que é uma relação de equivalência.
Relação de equivalência
Seja [tex]C[/tex] um conjunto. Um subconjunto [tex]R[/tex] de [tex]C \times C[/tex] é chamado de relação de equivalência se, para quaisquer [tex]a,\,b,\,c\in C,[/tex] valem:
- [tex](a,\,a)\in R[/tex] (reflexividade);
- Se [tex](a,\,b)\in R,[/tex] então [tex](b,\,a)\in R[/tex] (simetria);
- Se [tex](a,\,b)\in R[/tex] e [tex](b,\,c)\in R,[/tex] então [tex](a,\,c)\in R[/tex] (transitividade).
Agora, vamos à demonstração pedida lembrando que
[tex]\Large\text{$y\equiv z\pmod m\iff m\mid y-z.$}[/tex]
Demonstração
Sejam a relação R formada pelos pares [tex](y,\,z)\in\mathbb{Z}^2[/tex] tais que [tex]y\equiv z\pmod m[/tex] e [tex]x,\,y,\,z\in\mathbb{Z}.[/tex]
Reflexividade
Seja [tex]y\in\mathbb{Z}.[/tex] Temos, pela propriedade (i), [tex]m\mid y-y=0.[/tex] Logo, [tex]y\equiv y\pmod m.[/tex]
Simetria
Se [tex]y\equiv z\pmod m,[/tex] então [tex]m\mid y-z.[/tex] Pela propriedade (ii), segue que [tex]m\mid (-1)\cdot(y-z),[/tex] ou seja, [tex]m\mid z-y.[/tex] Logo, [tex]z\equiv y\pmod m.[/tex]
Transitividade
Se [tex]y\equiv z\pmod m[/tex] e [tex]z\equiv x\pmod m,[/tex] então [tex]m\mid y-z[/tex] e [tex]m\mid z-x.[/tex]
Consequentemente, pela propriedade (iii), temos:
[tex]m\mid(y-z)+(z-x),[/tex]
isto é, [tex]m\mid y-x.[/tex]
Logo, [tex]y\equiv x\pmod m.[/tex]
Verificadas as três propriedades, a relação R dada é de equivalência.
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