A área máxima do triângulo isósceles de perímetro 45 cm é 97,4 cm².
- Considere o triângulo isósceles da figura anexa onde:
c: medida dos lados congruentes.
h: medida da altura.
n: medida da semi-base.
- Se o perímetro do triângulo mede 45 cm então:
2n + 2c = 45 ⟹ Divida ambos os membros por 2.
[tex]\large \text {$ \sf n+c = \dfrac{45}{2} $}[/tex]
[tex]\large \text {$ \sf c = \dfrac{45}{2} -n$}[/tex]
- Observe que a altura do triângulo isósceles o divide em dois triângulos retângulos congruentes. Aplique o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo.
c² = n² + h² ⟹ Substitua o valor de c.
[tex]\large \text {$ \sf \left( \dfrac{45}{2} - n \right)^2 = n^2 + h^2$}[/tex]
[tex]\large \text {$ \sf \left( \dfrac{45}{2} \right)^2 -2 \cdot \dfrac {45}{2} \cdot n + n^2 = n^2 + h^2$}[/tex]
[tex]\large \text {$ \sf \dfrac{45^2}{4} -45 \cdot n = h^2$}[/tex]
[tex]\large \text {$ \sf 45 \cdot n = \dfrac{45^2}{4} - h^2$}[/tex]
[tex]\large \text {$ \sf n = \dfrac{45}{4} - \dfrac {h^2}{45}$}[/tex]
- A área do triângulo é obtida calculando a metade do produto entre base e altura. Observe que a base do triângulo mede 2n.
[tex]\large \text {$ \sf A = \dfrac{b \cdot h}{2}$}[/tex]
[tex]\large \text {$ \sf A = \dfrac{2n \cdot h}{2}$}[/tex]
A = n ⋅ h ⟹ Substitua o valor de n.
[tex]\large \text {$ \sf A = \left( \dfrac{45}{4} - \dfrac {h^2}{45} \right) \cdot h$}[/tex]
[tex]\large \text {$ \sf A = \dfrac{45 \cdot h}{4} - \dfrac {h^3}{45} $}[/tex]
- Deseja-se saber a área máxima do triângulo para um perímetro de 45 cm, portanto é necessário determinar um máximo relativo para a função A(h).
- A derivada de uma função num determinado ponto é numericamente igual ao coeficiente angular da reta tangente à curva nesse ponto. Nos pontos de máximo ou mínimo relativo a reta tangente à curva é horizontal e portanto seu coeficiente angular é zero.
- Portanto se derivarmos a função, igualá-la a zero e determinarmos suas raízes, obtém-se os valores de h para os quais o coeficiente angular da reta tangente à curva é zero e portanto serão, valores de máximo e mínimo relativo da função, sendo que um deles representa o valor da altura h cuja área do triângulo é máxima.
- Obtenha a derivada da função A(h).
[tex]\large \text {$ \sf A(h) = \dfrac{45 \cdot h}{4} - \dfrac {h^3}{45} $}[/tex]
[tex]\large \text {$ \sf \dfrac {dA(h)}{dh} = \dfrac{45}{4} - \dfrac {3h^2}{45} $}[/tex]
- Iguale a zero e obtenha o valor de h para área máxima.
[tex]\large \text {$ \sf \dfrac{45}{4} - \dfrac {3h^2}{45} = 0$}[/tex]
[tex]\large \text {$ \sf \dfrac {3h^2}{45} = \dfrac{45}{4} $}[/tex]
[tex]\large \text {$ \sf h^2 = \dfrac{45 \times 45}{4 \times 3} = \dfrac{45 \times 15}{4} = \dfrac{9 \times 5 \times 5 \times 3}{4} $}[/tex]
[tex]\large \text {$ \sf h = \dfrac{15 \sqrt 3}{2} $}[/tex]
- Substitua o valor de h na equação da área e obtenha a área máxima.
[tex]\large \text {$ \sf A = \dfrac{45 \cdot h}{4} - \dfrac {h^3}{45} $}[/tex]
[tex]\large \text {$ \sf A = \dfrac{45 \cdot 15 \sqrt 3}{4 \times 2} - {\left(\dfrac {15 \sqrt 3}{2}\right)^3} \cdot \dfrac{1}{45} $}[/tex]
[tex]\large \text {$ \sf A = \dfrac{45 \cdot 15 \sqrt 3}{4 \times 2} - {\dfrac {15^2 \cdot \cancel{15 \cdot 3} \sqrt 3}{2^3}} \cdot \dfrac{1}{45} $}[/tex]
[tex]\large \text {$ \sf A = 3 \cdot \dfrac {15 \cdot 15 \sqrt 3}{8} - {\dfrac {15^2 \cdot \sqrt 3}{8}} \cdot $}[/tex]
[tex]\large \text {$ \sf A = 2 \cdot \dfrac {15 \cdot 15 \sqrt 3}{8} $}[/tex]
[tex]\large \text {$ \sf A = \dfrac {15 \cdot 15 \sqrt 3}{4} $}[/tex]
[tex]\large \text {$ \sf A = \dfrac {225 \sqrt 3}{4} $}[/tex]
A ≈ 97,4 cm²
A área máxima do triângulo isósceles de perímetro 45 cm é 97,4 cm².
Aprenda mais:
- Substitua o valor de h na equação de n e determine a medida da base do triângulo.
[tex]\large \text {$ \sf n = \dfrac{45}{4} - \dfrac {h^2}{45}$}[/tex]
[tex]\large \text {$ \sf n = \dfrac{45}{4} - \left( \dfrac {15 \sqrt 3}{2}\right)^2 \cdot \dfrac{1}{45}$}[/tex]
[tex]\large \text {$ \sf n = \dfrac{45}{4} - \dfrac {15^2 \cdot 3}{4} \cdot \dfrac{1}{45}$}[/tex]
[tex]\large \text {$ \sf n = \dfrac{45}{4} - \dfrac {15}{4} = \dfrac {30}{4}$}[/tex]
- Observe que a medida da base (b) é o dobro de n.
b = 2n
[tex]\large \text {$ \sf b = 2 \cdot \dfrac {30}{4}$}[/tex]
b = 15 cm
- Se o perímetro é 45 então:
2c + b = 45
2c + 15 = 45
2c = 30
c = 15 cm
Observe que os três lados do triângulo medem 15 cm, portanto a área máxima de um triângulo de determinado perímetro é obtida quando o triângulo é equilátero.
Outras aplicações da derivada:
- https://brainly.com.br/tarefa/38096830
