Temos a seguinte expressão:
[tex] \: \: \: \: \: \: \bullet \: \: \sf f(x + y) = f(x) \: . \: f(y) \: \: \bullet[/tex]
Para iniciar a resolução desta questão, vamos assumir inicialmente que y = 0, então:
[tex] \sf f(x + 0) = f(x) \: . \: f(0) \: \: \to \: \: f(x) = f(x) \: . \: f(0) \\ \\ \sf f(x) \: . \: f(0) - f(x) = 0 \: \: \to \: \: f(x) \: . \: [f(0) - 1] = 0[/tex]
- Pelo anulamento de produto, sabemos que em um produto de duas expressões que resultam em 0, uma ou outra é realmente 0, para que a igualdade seja satisfeita, isto é, como não temos certeza de qual é realmente 0, fazemos a igualdade das duas expressões a 0, então, vamos aplicar essa lógica nessa expressão:
[tex] \sf f(x) \: . \: [f(0) - 1] = 0 \to \begin{cases} \sf f(x) = 0 \\ \sf f(0) = 1 \end{cases}[/tex]
Tendo feito isso, vamos agora partir para o cerne da questão, isto é, a derivada propriamente dita. Para esta derivação, vamos iniciar pela definição:
[tex] \: \: \: \: \: \sf f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ [/tex]
Como foi dito na questão, [tex]f(x+y) = f(x) \:.\:f(y) [/tex], aplicando isto na expressão do limite, teríamos que:
[tex] \: \: \: \: \: \sf f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x).f(h)-f(x)}{h} \\ \\ \sf \sf f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x). [f(h) - 1] }{h} [/tex]
Aplicando a propriedade do produto dos limites:
[tex] \sf \sf f'(x) =\lim_{h\to 0}f(x) \: . \: \lim_{h\to 0}\frac{f(h)-1}{h} \\ [/tex]
Como f(x) é uma constante neste limite que depende de h, podemos aplicar a propriedade que diz que o limite de uma constante é a própria constante, portanto:
[tex] \sf \sf f'(x) =f(x) \: . \: \lim_{h\to 0}\frac{f(h)-1}{h} \\ [/tex]
Utilizando a informação encontrada no começo da questão em que [tex] f(0)=1[/tex], podemos fazer uma pequena substituição:
[tex] \sf \sf f'(x) = f(x) \: . \: \lim_{h\to 0}\frac{f(h)-f(0)}{h } \\ [/tex]
Note que esta expressão que está com limite, é basicamente a definição de derivada, como pode ser observado abaixo:
[tex] \sf \sf f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} , \: para \: x = 0 \\ \\ \sf f'(0) = \lim_{h\to 0} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} \\ \\ \sf f'(0) = \lim_{h\to 0} \frac{f( h) - f(0)}{h}[/tex]
Substituindo esta informação onde paramos e finalizando a questão:
[tex] \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed { \bullet \: \: \sf f'(x) = f(x) \: . \: f'(0) \: \: \bullet }[/tex]
Espero que seja isto
