O Sistersinspirit.ca é o melhor lugar para obter respostas confiáveis e rápidas para todas as suas perguntas. Conecte-se com uma comunidade de especialistas prontos para fornecer soluções precisas para suas perguntas de maneira rápida e eficiente em nossa amigável plataforma de perguntas e respostas. Explore nossa plataforma de perguntas e respostas para encontrar respostas detalhadas de uma ampla gama de especialistas em diversas áreas.
Sagot :
Temos a seguinte equação diferencial:
[tex] \sf \: \: \: \: \: \: \: \: \bullet \: \: y''-5y'+6y=2e {}^{8x} \: \bullet[/tex]
Para resolver esta equação vamos usar o método da variação de parâmetros, onde supõe-se uma solução particular baseada na solução da equação homogênea associada. Dado que esta equação é não homogênea, uma vez que o segundo membro da equação não é 0, a solução geral da mesma, é dada pela seguinte expressão:
[tex] \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{ \sf y_g = y_p + y_h}[/tex]
- Onde yp é a solução particular e yh a solução da homogênea associada.
Por motivos de menos complexidade, vamos iniciar pela solução da equação homogênea associada, que é basicamente:
[tex] \sf \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: y''-5y'+6y=0[/tex]
Vamos utilizar o método dos coeficientes constantes, onde utiliza-se um equação do segundo grau:
[tex] \sf m {}^{2} - 5m + 6 = 0 \: \to \: m_1 = 3 \: \: e \: \: m_2 = 2[/tex]
Dado que a equação possuiu duas raízes reais e diferentes, então se encaixa no caso da solução 1, que é dada por:
[tex] \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \sf y = c_1.e^{m_1.x} + c_2.e {}^{m_2.x} [/tex]
Substituindo as soluções e encontrando a solução da homogênea associada:
[tex] \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{ \boxed{ \sf y = c_1.e^{3x} + c_2.e {}^{2x} }}[/tex]
________________________________
Agora vamos calcular a solução particular. Como foi dito anteriormente esta solução se baseia na homogênea associada, então:
[tex] \: \: \: \: \: \sf \bullet \: \: y = u_1(x) . y_1 + u_2(x).y_2 \: \: \bullet[/tex]
Para calcular estes termos u1 e u2, existem relações estabelecidas, que são:
[tex] \sf u_1(x) = - \int \frac{ y_2 \: . \: f(x) }{ W } \: \: e \: \: u_2(x) = \int \frac{ y_1 \: . \: f(x) }{ W } \\ [/tex]
- y1 e y2 são as soluções encontradas anteriormente, W o Wronskiano das soluções e f(x) a expressão que se encontra logo após a igualdade da equação.
Primeiro vamos calcular o Wronskiano:
[tex] \sf W = \begin{pmatrix} \sf y_1& \sf y_2 \\ \sf y'_1& \sf y'_2 \end{pmatrix} \: \to \: W = \begin{pmatrix} \sf e {}^{3x} & \sf e {}^{2x} \\ \sf 3e {}^{3x} & \sf 2e {}^{2x} \end{pmatrix} \\ \\ \sf det(W) = e {}^{3x} .2.e {}^{2x} - 3.e {}^{3x} .e {}^{2x} \\ \\ \sf det( W) = 2e {}^{5x} - 3e {}^{5x} \\ \\ \sf det(W) = - e {}^{5x} [/tex]
A função f(x) é dada por:
[tex] \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \sf y''-5y'+6y= \underbrace{2e {}^{8x} }_{f(x)}[/tex]
Substituindo os dados na primeira relação de u:
[tex] \sf u_1(x) = - \int \frac{e {}^{2x} \: . \: 2e {}^{8x} }{ - e {}^{5x} } \: dx \\ \\ \sf u_1(x) = 2\int \frac{e {}^{10x} }{e {}^{5x} } \: dx \\ \\ \sf u_1(x) = 2 \int e {}^{5x} \: dx \\ \\ \boxed{\sf u_1(x) = \frac{2e {}^{5x} }{5}}[/tex]
Calculando agora u2:
[tex]\sf u_2(x) = \int \frac{y_1 \: . \: f(x)}{W} \: dx\\ \\ \sf u_2(x) = \int \frac{e {}^{3x} \: . \: 2e {}^{8x} }{ - e {}^{5x} } \: dx\\ \\ \sf u_2(x) = - 2\int \frac{e {}^{11x} }{e {}^{5x} } \: dx \\ \\ \sf u_2(x) = -2 \int e {}^{6x} \: dx \\ \\ \boxed{ \sf u_2(x) = - \frac{e {}^{6x} }{ 3} }[/tex]
Tendo feito estes cálculo, vamos substituir na expressão da solução particular:
[tex] \sf y_p = \frac{2e {}^{5x} }{5} .e {}^{3x} - \frac{e {}^{6x} }{3} .e {}^{2x} \\ \\ \sf y_p = \frac{2e {}^{8x} }{5} - \frac{e {}^{8x} }{3} \\ \\ \boxed{ \sf y_p = \frac{e {}^{8x} }{15} }[/tex]
Para finalizar, basta substituir todas as soluções dentro na expressão da solução geral:
[tex] \sf y_g = y_p + y_h \\ \boxed{ \boxed{ \boxed{ \boxed{ \sf y_g = \frac{e {}^{8x} }{15} + c_1.e {}^{3x} + c_2.e {}^{2x} }}}}[/tex]
Espero ter ajudado
Obrigado por visitar. Nosso objetivo é fornecer as respostas mais precisas para todas as suas necessidades informativas. Volte em breve. Obrigado por passar por aqui. Nos esforçamos para fornecer as melhores respostas para todas as suas perguntas. Até a próxima. Sistersinspirit.ca está aqui para fornecer respostas precisas às suas perguntas. Volte em breve para mais informações.