Usando produtos notáveis, propriedades dos números reais e transitividade da igualdade, mostra-se que
[tex]\Large\text{$\phi+1=\phi^2,$}[/tex]
em que [tex]\phi[/tex] é o número de ouro.
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Para a resolução dessa questão, supondo [tex]a,\,b,\,c\in\mathbb{R},[/tex] vamos usar o seguinte produto notável, conhecido como o qudrado da soma de dois termos:
[tex]\Large\text{$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2,$}[/tex]
Além disso, vamos usar a propriedade transitiva da igualdade, a qual diz que se [tex]a=b[/tex] e [tex]b=c,[/tex] então [tex]a=c.[/tex]
Desse modo, segue que:
[tex]\Large\begin{aligned}\phi+1&=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}+1\\\\&=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}+\dfrac{2}{2}\\\\&=\dfrac{1+\sqrt{5}+2}{2}\\\\&=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}.\end{aligned}[/tex]
Logo,
[tex]\Large\boxed{\phi+1=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}}\quad(\ast)[/tex]
Calculemos agora o quadrado do número de ouro:
[tex]\Large\begin{aligned}\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^2&=\dfrac{\left(1+\sqrt{5}\right)^2}{2^2}\\\\&=\dfrac{1^2+2\cdot1\cdot\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^2}{4}\\\\&=\dfrac{1+2\sqrt{5}+5}{4}\\\\&=\dfrac{6+2\sqrt{5}}{4}\\\\&=\dfrac{2\left(3+\sqrt{5}\right)}{4}\\\\&=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}.\end{aligned}[/tex]
Assim,
[tex]\Large\boxed{\phi^2=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}}\quad(\ast\ast)[/tex]
Comparando as igualdades [tex](\ast)[/tex] e [tex](\ast\ast)[/tex] e usando transitividade, conclui-se que:
[tex]\Large\boxed{\boxed{\phi+1=\phi^2.}}[/tex]
Para aprender mais, acesse os links a seguir:
brainly.com.br/tarefa/5843639.
brainly.com.br/tarefa/46801029
