O conjunto solução que comporta as raízes de:
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Considerações pré-resolução:
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Equações irracionais são sentenças que expressam uma igualdade entre duas expressões, tais que as variáveis encontram-se em radicandos. A forma como inicia-se a resolução varia de equação para equação, mas de forma geral, quando tem-se uma raiz isolada, elevamos ambos os membros da equação ao expoente que tem o mesmo valor do índice desta raiz, de modo a aplicar a propriedade: [tex]\tt(\sqrt[\tt n]{\tt x})^n=x[/tex].
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[tex]\large\text{$\tt Eq.1~~\sqrt{2x-3}=x$}[/tex]
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Obs.: se o índice da raiz não aparecer, então ela é uma raiz quadrada; logo, seu índice vale 2. Em suma, a equação acima é a mesma que [tex]\tt\sqrt[\tt2]{\tt2x-3}=x[/tex]. Dessa forma, segue que:
[tex]\tt\big(\sqrt[\tt2]{\tt2x-3}\big)^2=x^2[/tex]
[tex]\tt2x-3=x^2[/tex]
[tex]\tt x^2-2x+3=0[/tex]
Calcule o delta para determinar o comportamento de suas raízes:
[tex]\sf\Delta\tt=b^2-4ac[/tex]
[tex]\sf\Delta\tt=(-\,2)^2-4\cdot1\cdot3[/tex]
[tex]\sf\Delta\tt=4-12[/tex]
[tex]\sf\Delta\tt=-\,8<0[/tex]
Dado que delta é negativo, a equação não possui raízes reais. Sendo assim, não há solução para [tex]\tt x\in\mathbb{R}[/tex] que satisfaça a eq.1.
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[tex]\large\text{$\therefore~\tt\sqrt{2x-3}=x~\implies~S=\Large\text{$\varnothing$}$}[/tex]
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[tex]\large\text{$\tt Eq.2~~\sqrt{x^2-3x+3}=1$}[/tex]
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[tex]\tt\big(\sqrt{x^2-3x+3}\big)^2=1^2[/tex]
[tex]\tt x^2-3x+3=1[/tex]
[tex]\tt x^2-3x+2=0[/tex]
Vejamos agora o valor do delta:
[tex]\sf\Delta\tt=b^2-4ac[/tex]
[tex]\sf\Delta\tt=(-\,3)^2-4\cdot1\cdot2[/tex]
[tex]\sf\Delta\tt=9-8[/tex]
[tex]\sf\Delta\tt=1>0[/tex]
Dado que ele é positivo, a equação possui raízes reais e distintas. Assim sendo, vamos encontrar a solução da eq.2 (farei por Bhaskara mesmo, já que calculamos o delta):
[tex]\tt x=\dfrac{-\,b\pm\sqrt{\sf\Delta}}{2a}~\Leftrightarrow~x=\dfrac{-\,(-\,3)\pm\sqrt{1}}{2\cdot1}[/tex]
[tex]\tt~\Leftrightarrow~x=\dfrac{3\pm1}{2}~\Leftrightarrow~\begin{cases}\tt x=\dfrac{3-1}{2}~\Leftrightarrow~x=1\\\vee\\\tt x=\dfrac{3+1}{2}~\Leftrightarrow~x=2\end{cases}[/tex]
Agora verifique se estes valores são satisfatórios:
[tex]\tt\sqrt{1^2-3\cdot1+3}=1~\Leftrightarrow~\sqrt{1-3+3}=1~\Leftrightarrow~\sqrt{1}=1~\Leftrightarrow~1=1~~OK[/tex]
[tex]\tt\sqrt{2^2-3\cdot2+3}=1~\Leftrightarrow~\sqrt{4-6+3}=1~\Leftrightarrow~\sqrt{1}=1~\Leftrightarrow~1=1~~OK[/tex]
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[tex]\large\text{$\therefore~\tt\sqrt{x^2-3x+3}=1~\implies~S=\big\{1;~2\big\}$}[/tex]
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Bons estudos e um forte abraço. — lordCzarnian9635.
