Explicação passo a passo:
Dividir o expoente 6841 por 4 e elevar i ao resto
[tex]i^n=i^r[/tex] onde r é o resto da divisão
6841 ÷ 4 = 1710 com resto um
Logo:
[tex]\boxed{i^{6841}=i^1=i}[/tex]
✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o valor do número complexo procurado é:
[tex]\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf z = i\:\:\:}}\end{gathered}$}[/tex]
Seja o número complexo:
[tex]\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} z = i^{6841}\end{gathered}$}[/tex]
Para resolver esta questão devemos lembrar as seguintes propriedades da unidade imaginária "i":
[tex]\LARGE\begin{cases} i^{0} = 1\\i^{1} = i\\i^{2} = -1\\i^{3} = -i\end{cases}[/tex]
Se o número complexo dado pode se escrito como uma potência "P" de "i", ou seja:
[tex]\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} z = i^{P}\end{gathered}$}[/tex]
Então, podemos reduzir esta potência à menor potência possível de "i" igualando "P" ao resto da divisão de "P" por "4", ou seja:
[tex]\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} z = i^{r}\end{gathered}$}[/tex]
Para calcular este resto, devemos utilizar a seguinte fórmula:
[tex]\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} r = P - 4\cdot\bigg\lfloor\frac{P}{4}\bigg\rfloor\end{gathered}$}[/tex]
OBSERVAÇÃO:
A seguinte formula...
[tex]\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bigg\lfloor\frac{P}{4}\bigg\rfloor\end{gathered}$}[/tex]
...representa o piso do quociente entre o valor de "P" e "4".
Desta forma, temos:
[tex]\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf I\end{gathered}$}[/tex] [tex]\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} z = i^{P - 4\cdot\bigg\lfloor\dfrac{P}{4}\bigg\rfloor}\end{gathered}$}[/tex]
Sendo:
[tex]\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} P = 6841\end{gathered}$}[/tex]
Substituindo o valor de "P" na equação "I", temos:
[tex]\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} z = i^{6841 - 4\cdot\bigg\lfloor\dfrac{6841}{4}\bigg\rfloor} \end{gathered}$}[/tex]
[tex]\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} = i^{6841 - 4\cdot \lfloor1710,25\rfloor}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} = i^{6841 - 4\cdot1710}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} = i^{6841 - 6840}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} = i^{1}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} = i\end{gathered}$}[/tex]
✅ Portanto, o valor do número complexo é:
[tex]\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} z = i\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}[/tex]
Saiba mais:
