O raio da circunferência inscrita no triângulo retângulo mede 4 cm.
- Considere c a medida da hipotenusa do triângulo retângulo e utilizando o teorema de Pitágoras calcule essa medida.
c² = 12² + 16²
c² = 144 + 256
c² = 400 ⟹ Extrai a raiz quadrada de ambos os membros.
c = 20 cm
- A área (S) de um triângulo é obtida calculando a metade do produto entre as medidas da base (b) e altura (h).
[tex]\large \text {$ \sf S = \dfrac{b \times h}{2} $}[/tex]
- Multiplicando-se ambos os membros dessa equação por 2 obtêm-se o dobro da área.
2S = b × h
- Observe na figura anexa que o triângulo retângulo foi dividido em três triângulos cujas bases são os lados do triângulo retângulo e as alturas são raios (r) da circunferência inscrita, consequentemente a soma dessas três áreas deve ser igual à área do triângulo retângulo, ou também a soma do dobro dessas três áreas deve ser igual ao dobro da área do triângulo retângulo.
12 ⋅ r + 16 ⋅ r + c ⋅ r = 12 · 16 ⟹ Substitua o valor de c.
12 ⋅ r + 16 ⋅ r + 20 ⋅ r = 12 · 16 ⟹ Fatore (fator comum em evidência).
(12 + 16 + 20) ⋅ r = 12 · 16 ①
48 ⋅ r = 192 ⟹ Divida ambos os membros por 48.
r = 4 cm
O raio da circunferência inscrita no triângulo retângulo mede 4 cm.
Aprenda mais:
- Observe na equação ① que (12 + 16 + 20) é o perímetro (P) do triângulo retângulo e 12 · 16 é o dobro de sua área (S). Substitua P e S na equação ①.
(12 + 16 + 20) ⋅ r = 12 · 16 ①
P ⋅ r = 2S ⟹ Divida ambos os membros por 2.
[tex]\large \text {$ \sf \dfrac{P}{2} \times r = S $}[/tex]
- Observe que a metade do perímetro é o semiperímetro (p). Substitua P/2 por p.
p ⋅ r = S
S = p ⋅ r onde:
S: área do triângulo.
p: semiperímetro do triângulo.
r: raio da circunferência inscrita no triângulo.
- https://brainly.com.br/tarefa/30598089
