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Deduza a fórmula de volume de uma esfera, rotacionando a regiao limitada pela curva x²+y²=r² e pelo eixo x em torno do eixo x.

Sagot :

Resposta:

V= [tex]\frac{4}{3}[/tex][tex]\pi[/tex][tex]r^{3}[/tex]

Explicação passo a passo:

Passo 1

Vamos entender a região delimitada e depois usar a fórmula do volume aplicado pra esfera .

Passo 2

Vamos pegar a porção delimitada por [tex]x^{2}[/tex] + [tex]y^{2}[/tex] = [tex]r^{2}[/tex] no primeiro quadrante e girar em torno do eixo [tex]x[/tex], concorda que o volume da esfera será o dobro da figura que geramos com esse giro? Esse vai ser o raciocínio.

Agora vamos usar um elemento de volume , que será um disco circular dessa esfera centrado no eixo [tex]x[/tex], onde [tex]x[/tex] vai de 0 até [tex]r[/tex]. o raio do disco será dado ao isolarmos [tex]y[/tex] da equação da circunferência , porque giramos em tomo de [tex]x[/tex].

Raio do disco : [tex]\sqrt{r^2 - w_{i^2}[/tex], onde [tex]w_{i}[/tex] , é uma porção infinitesimal que corresponde a [tex]x[/tex].

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