Nathan,
a fórmula geral de uma P.G é dada por:
[tex]a_n = a_1 \cdot q^{n - 1}[/tex]
Supomos que n = 3, então teremos: a_3 = a_1 . q²;
Se n = 4, teremos a_4 = a_1 . q³.
Notou que (3 = 1 + 2) e (4 = 1 + 3), respectivamente?
Podemos seguir o mesmo raciocínio trocando-se o 1º termo por qualquer outro, desde que, obedeça a referida soma, veja:
Quando n = 10, teríamos a_{10} = a_5 . q^5 ====> (10 = 5 + 5);
===========+=======> a_{10} = a_7 . q^3 ===> (10 = 7 + 3).
Acho que deu p/ entender. Então, seguindo com a resolução.
[tex]a_n = a_{11} \cdot q^{n - 11} \\\\ 243 = 3 \cdot q^{n - 11} \\\\ \frac{243}{3} = q^{n - 11} \\\\ q^{n - 11} = 81 \\\\ q^{n - 11} = 3^4[/tex]
Nathan, a igualdade será verdadeira apenas se as bases forem iguais, e, os expoentes também (iguais).
Logo, como o enunciado pede o número de termos, igualemos os expoentes:
[tex]n - 11 = 4 \\ n = 11 + 4 \\ \boxed{n = 15}[/tex]
