Alternativa correta é a letra A.
A função [tex]\boldsymbol{ \displaystyle \sf f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} }[/tex] dada por [tex]\boldsymbol{ \displaystyle \sf f ( x ) = ax^{2} +b x +c }[/tex], com a, b e c reais e [tex]\boldsymbol{ \displaystyle \sf a\neq 0 }[/tex], denomina-se função polinomial do [tex]\boldsymbol{ \displaystyle \sf 2^\circ }[/tex] grau ou função quadrática.
Os números representados por a, b e c são coeficientes da função. Note que [tex]\boldsymbol{ \displaystyle \sf a = 0 }[/tex] temos uma função do [tex]\boldsymbol{ \displaystyle \sf 1^\circ }[/tex] grau ou função constante.
Dados fornecido pelo enunciado:
[tex]\displaystyle \sf \begin{cases} \sf f ( x) = x^{2} +bx + c \\ \sf A (4;0) \\\sf B ( 0; -4) \\\sf f (-\:1) =\:? \end{cases}[/tex]
As coordenadas A e B satisfazem essa lei. Assim:
Para x = 4 e f ( x ) = y = 0, temos:
[tex]\displaystyle \sf f (x) = y = x^{2} +bx + c[/tex]
[tex]\displaystyle \sf f (4) = 4^{2} +4x + c[/tex]
[tex]\displaystyle \sf 0 = 16 +4x + c[/tex]
[tex]\displaystyle \sf 4b + c = -16[/tex]
Para x = 0 e f ( x ) = y = - 4, temos:
[tex]\displaystyle \sf f (x) = y = x^{2} +bx + c[/tex]
[tex]\displaystyle \sf f (0) = 0^{2} +b \cdot 0+ c[/tex]
[tex]\displaystyle \sf -4 = 0 +0+ c[/tex]
[tex]\boldsymbol{ \displaystyle \sf c = -4 }[/tex]
Determinar o valor de b:
[tex]\displaystyle \sf 4b + c = -16[/tex]
[tex]\displaystyle \sf 4b -4 = -16[/tex]
[tex]\displaystyle \sf 4b = -16 + 4[/tex]
[tex]\displaystyle \sf 4b = - 12[/tex]
[tex]\displaystyle \sf b = -\: \dfrac{12}{4}[/tex]
[tex]\boldsymbol{ \displaystyle \sf b = -3 }[/tex]
Substituindo na função, temos:
[tex]\displaystyle \sf f (x) = x^{2} +bx + c[/tex]
[tex]\displaystyle \sf f (x) = x^{2} -3 x - 4[/tex]
[tex]\displaystyle \sf f (-1) = (-1)^{2} -3 \cdot (-1) - 4[/tex]
[tex]\displaystyle \sf f (-1) = 1 +3 - 4[/tex]
[tex]\displaystyle \sf f (-1) = 4 - 4[/tex]
[tex]\boxed{ \boxed { \boldsymbol{ \displaystyle \sf f(-\;1) = 0 }}}[/tex]
Alternativa correta é o item A.
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