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Sagot :
Resposta:
1 ) 987 049 2 ) 40 200
Explicação passo a passo:
1 )
Vamos fazer como o Matemático Carl Gauss fez.
Colocamos , numa linha ,por ordem crescente os números de 1 a 1 405
Por baixo colocamos os mesmos números por ordem decrescente.
E somamos coluna a coluna
1 2 3 ................................... 1405
+ 1405 1404 1403 .................................... 1
1406 1406 1406 ..................................... 1406
Temos 1 405 parcelas que somadas, na vertical dá , cada uma ,1 406
Ou seja → 1405 * 1406 = 1 975 430
Mas somei duas vezes.
Só queria somar uma vez.
Sem problema.
Divide-se por 2
1 975 430 : 2 = 987 715 Soma dos 1405 primeiros números consecutivos
Mas .....
Eu só queria do 37 até 1405 !!
Não há problema.
Vamos somar de 1 até 36, pelo mesmo método
1 2 3 ................................ 36
36 35 34 ....................................1
37 37 37 37
A soma de 1 até 36 incluído = ( 36 * 37 ) = 1 332
Dividindo 1 332 por 2 = 666
A soma de 37 até 1405 = 987 715 - 666 = 987 049
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Isto que fiz aqui é cima é semelhante ao que o famoso matemático
Carl Gauss fez.
Pelo menos assim reza a história.
Na sua meninice Carl Gaus estava numa turma que até era barulhenta
de vez em quando.
O professor de Matemática perante o ruído da turma resolveu dar-lhes algo
para se calarem um bom bocado de tempo.
Mandou que somassem todos os números inteiros de 1 a 100.
Isto vai demorar, pensou o professor.
Lembrem-se que não havia calculadoras eletrónicas nessa altura .
Mas, eis se não quando , passado muito pouco tempo o menino Carl Gauss
se levantou e entregou o resultado ao professor !
Vejamos o que ele fez
Colocou valores em duas linhas horizontais.
Uma por ordem crescente.
A outra por ordem decrescente.
E somou cada coluna
1 2 3 4 ......................................98 99 100
+ 100 99 97 96 .................................... 3 2 1
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101 101 101 101 ..................................... 101 101 101
Ele tinha 100 colunas cuja soma de cada coluna era igual a 101.
Então 100 colunas * 101 = 10 100
Como tinha duplicado os valores do problema, dividiu por 2.
10 100 : 2 = 5 500
E estava certo !!
A soma dos inteiros de 1 a 100 dá 5 500
2)
Os 200 pares positivos consecutivos formam uma progressão aritmética de
razão = 2
razão = [tex]a_{2} -a_{1}[/tex] = segundo termo menos primeiro termo
= 4 - 2 = 2
razão igual a 2
A soma de n termos consecutivos, numa Progressão Aritmética ( PA ) é
dada pela fórmula
[tex]S_{n} =\dfrac{n*(a_{1} +a_{n} )}{2}[/tex]
Onde
[tex]S_{n}[/tex] = soma de "n" termos consecutivos
[tex]a_{1}[/tex] = primeiro termo
[tex]a_{n}[/tex] = último dos termos consecutivos
[tex]n[/tex] = número de termos consecutivos
Neste caso temos a soma dos 200 primeiros pares positivos :
[tex]S_{200} =\dfrac{n*(a_{1} +a_{n} )}{2}[/tex]
O primeiro número par é zero
Mas :
O zero é um caso particular, sendo considerado um número neutro, pois
ele não é positivo e nem negativo.
Por isso como nos pedem os 200 primeiros pares positivos consecutivos,
vamos começar no valor 2 .
Calcular o ducentésimo número par
A expressão geral das PA . Ela dá-nos o valor de cada termo da PA
[tex]A_{n} =a1+(n-1)*r[/tex]
[tex]A_{n}[/tex] = termo geral da PA
[tex]a1[/tex] = primeiro termo
n = ordem do termo
r = razão
Como quero saber qual o valor do termo de ordem 200
( chama-se o ducentésimo termo )
[tex]A_{200} =2+(200-1)*2[/tex]
[tex]A_{200} =2+199*2=400[/tex]
O ducentésimo número par é o 400
Agora vou usar a fórmula da Soma de "n" termos consecutivos de uma PA
[tex]S_{200} =\dfrac{200*(2 +400)}{2} =402*100=40200[/tex]
A soma dos 200 primeiros números pares positivos = 40 200
Bons estudos.
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( * ) multiplicação ( : ) divisão
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