[tex]\Large\boxed{\begin{array}{lll}1.&\sim\!A\rightarrow B&\text{(premissa)}\\2.&\sim\!B\vee C&\text{(premissa)}\\3.&\sim\!C&\text{(premissa)}\\4.&\sim\!B&\text{(2,3 silogismo disjuntivo)}\\5.&\sim\!(\sim\!A)&\text{(1,4 modus tollens)}\\6.&A&\text{(5 dupla $\rm negac_{\!\!,}\tilde{a}o$)}\end{array}}[/tex]
Deseja-se demonstrar que a seguinte fórmula é verdadeira:
[tex]\Large\text{$(\sim\!A\rightarrow B)\wedge(\sim\!B\vee C)\wedge\sim\!C\rightarrow A.$}[/tex]
Para tanto, vamos usar o método de validade mediante regras de inferência.
As regras usadas são apresentadas a seguir:
Essa regra permite deduzir, da disjunção [tex]p\vee q[/tex] e da negação de uma das proposições simples componentes, a outra proposição. Isto é:
[tex]\Large\text{$p\vee q,\,\sim\!p\vdash q$}[/tex]
ou
[tex]\Large\text{$p\vee q,\,\sim\!q\vdash p.$}[/tex]
A partir das premissas [tex]p\rightarrow q[/tex] e [tex]\sim\!q[/tex] conclui-se [tex]\sim\!p.[/tex] Simbolicamente, temos:
[tex]\Large\text{$p\rightarrow q,\,\sim\!q\vdash\,\sim\!p.$}[/tex]
Veja outra representação da regra modus tollens na imagem anexa.
A negação da negação de uma proposição [tex]p[/tex] equivale a [tex]p.[/tex] Em símbolos, temos:
[tex]\Large\text{$\sim\!(\sim\!p)\iff p.$}[/tex]
Com essas três regras, conseguimos desenvolver a seguinte argumentação para provar a validade da fórmula dada nesta questão:
[tex]\Large\begin{array}{lll}1.&\sim\!A\rightarrow B&\text{(premissa)}\\2.&\sim\!B\vee C&\text{(premissa)}\\3.&\sim\!C&\text{(premissa)}\\4.&\sim\!B&\text{(2,3 SJ)}\\5.&\sim\!(\sim\!A)&\text{(1,4 MT)}\\6.&A&\text{(5 DN)}\end{array}[/tex]
Se houver dúvidas, comente.
Espero ter ajudado!
Para ler sobre as regras modus ponens e modus tollens, acesse: brainly.com.br/tarefa/12045406
