c) (x – 1)² + (y – 3)² = 32 ✓
_______________________________
1) Calculando a distância entre os dois pontos, obtemos o diâmetro:
[tex]\sf~D = \sqrt{{(x_a - x_b)}^{2} + {(y_a - y_b)}^{2} }\\\\\sf~D = \sqrt{ {(5 - ( - 3))}^{2} + {( - 1 - (+7))}^{2} } \\\\\sf~D=\sqrt{(5+3)^2+(-1-7)^2}\\\\\sf~D = \sqrt{ {8}^{2} + {( - 8)}^{2} }\\\\\sf~D=\sqrt{8^2+64}\\\\\sf~D= \sqrt{64 + 64} \\\\\sf~D=\sqrt{128}\Rightarrow\sqrt{2^7}\Rightarrow\sqrt{2^{6+1}}\Rightarrow\sqrt{2^6\cdot2^1}\Rightarrow\sqrt[\diagup\!\!\!\!2]{2^{\diagup\!\!\!\!6}}\cdot\sqrt{2}\Rightarrow2^3\sqrt{2}\Rightarrow\boxed{8\sqrt{2}}~\checkmark[/tex]
2) Como o raio é a metade do diâmetro, temos:
[tex]\Large\displaystyle\sf~r=\frac{D}{2}\Rightarrow\frac{\diagup\!\!\!\!8\sqrt{2}}{\diagup\!\!\!\!2}\Rightarrow\boxed{\sf4\sqrt{2}}~\checkmark[/tex]
3) Calculando o ponto central ou coordenadas do centro através do ponto médio entre A e B:
[tex]\begin{cases}\Large\displaystyle\sf~x_c = \frac{x_a + x_b}{2}\Rightarrow\frac{5 + ( - 3)}{2}\Rightarrow\frac{2}{2}=\boxed{1}~\checkmark\\\\\Large\displaystyle\sf~y_c =\frac{y_a+ y_b}{2}\Rightarrow\frac{ - 1 + 7}{2} = \frac{6}{2}=\boxed{3}~\checkmark\end{cases}[/tex]
Logo, o ponto central é: C (1; 3) ✓
4) Agora, substituímos o ponto central na equação da circunferência com o sinal invertido de xc e yc obtendo o que se pede no enunciado.
Dessarte, substituímos na equação reduzida da circunferência, pois todas as alternativas estão na sua forma genérica. Sendo assim, temos:
[tex]\boxed{\boxed{\sf(x - x_c)^{2} + (y - y_c)^{2} = {r}^{2}}}~\bigstar \\\\\sf(x - 1)^{2} + (y - 3)^{2} = \left(4\sqrt{2}\right)^2\Rightarrow4^2\cdot\left(\sqrt[\diagup\!\!\!\!2]{2}\right)^{\diagup\!\!\!\!{2}}\Rightarrow16\cdot2=32\\\\\sf(x - 1)^{2} + (y - 3)^{2} =32~\checkmark[/tex]
✨ [tex]\Large\mathscr{\blue{Per:~Dan}}[/tex] ✨
