Resposta:
Termo geral: [tex]A_{n}=15-2n[/tex]
Soma dos 50 primeiros termos: [tex]-1800[/tex]
Explicação passo a passo:
Primeiro, devemos encontrar a razão da Progressão Aritmética. A razão é o número que somamos um termo da PA, resultando em seu termo consecutivo. Sendo assim, podemos dizer que se o 5º termo é 5, o 6º termo será 5 + r e que o 3º termo será 5 - 2r.
Foi informado pela questão que a soma do 3º e 6º termo da progressão resulta em 12, então, iremos somar os valores que encontramos para descobrir o valor de r:
(5 - 2r) + (5 + r) = 12
5 - 2r + 5 + r = 12
10 - r = 12
-r = 2
r = -2
Portanto, a razão é -2. Agora, temos que encontrar o termo geral desta PA. Para isso iremos utilizar da seguinte fórmula:
[tex]A_{n}=A_{x}+(n-x)r[/tex]
Temos que [tex]A_{5}[/tex] = 5; r = -2. Substituindo na fórmula, ficamos com:
[tex]A_{n}=5+(n-5).-2\\A_{n}=5-2n+10\\A_{n}=15-2n[/tex]
Agora que encontramos o termo geral, devemos encontrar a soma dos 50 primeiro termos. Para isso, temos que descobrir o 1º e o 50º termos apenas, como já encontramos o termo geral, isso será mais fácil:
[tex]A_{1}= 15-2(1)\\A_{1}=15-2\\A_{1}=13[/tex]
[tex]A_{50}= 15-2(50)\\A_{50}=15-100\\A_{50}=-85[/tex]
Agora, vamos utilizar da fórmula da soma de PA, que é a seguinte:
[tex]S=\frac{(A_{1}+A_{n} ).n}{2}[/tex]
Temos que [tex]A_{1}[/tex] = 13; [tex]A_{50}[/tex] = -85. Substituindo na fórmula:
[tex]S=\frac{(13-85)50}{2}\\S=(13-85)25\\S=(-72)25\\S=-1800[/tex]
