Olá, boa noite.
Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre sequências numéricas.
Seja a sequência [tex]x_n=\left(\dfrac{1}{3},~\dfrac{1}{9},~\dfrac{1}{27},~\dfrac{1}{81},~\dfrac{1}{243},~\cdots\right)[/tex].
Primeiro, observe que os termos desta sequência estão em progressão geométrica, isto é, cada termo é igual ao produto do termo imediatamente anterior por um fator, denominado razão da progressão: [tex]a_k=a_{k-1}\cdot q[/tex].
Desta recorrência, facilmente podemos calcular o valor de [tex]q[/tex] escolhendo-se dois elementos consecutivos da sequência para [tex]k\geq 2[/tex]:
[tex]a_2=a_1\cdot q\\\\\\ \dfrac{1}{9}=\dfrac{1}{3}\cdot q\\\\\\ \Rightarrow q=\dfrac{1}{3}[/tex]
O termo geral de uma sequência cujos termos estão em progressão geométrica pode ser calculado pela fórmula [tex]a_n=a_k\cdot q^{n-k},~n\geq k[/tex].
Assim, substituindo o valor que encontramos, teremos:
[tex]a_n=a_1\cdot q^{n-1}\\\\\\ a_n=\dfrac{1}{3}\cdot \left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}\\\\\\ a_n=\dfrac{1}{3^n}[/tex]
Por fim, para demonstrarmos que esta sequência é monótona e decrescente, tome [tex]f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{R}[/tex] tal que [tex]f(n)=a_n=\dfrac{1}{3^n}[/tex].
Calculando a derivada da função, teremos:
[tex](f(n))'=\left(\dfrac{1}{3^n}\right)'\\\\\\f'(n)=\dfrac{-(3^n)'}{(3^n)^2}\\\\\\ f'(n)=\dfrac{-3^n\cdot \ln(3)}{3^{2n}}\\\\\\ f'(n)=-3^{-n}\cdot \ln(3)[/tex]
Observe que [tex]f'(n)<0,~\forall{n}\in\mathbb{N}[/tex], então conclui-se que [tex]f(n)[/tex] é estritamente decrescente em todo seu domínio, ou seja, diz-se que a função é monótona e decrescente ou não-crescente.
