Questão 8: Um dado de seis faces é viciado, de modo que a probabilidade de sair número múltiplo de 3 é um terço da probabilidade de sair outro número. Se esse dado é lançado, a probabilidade de sair número maior que três é de?
Seja [tex]P(X=o)[/tex] a probabilidade da face sorteada ser diferente de 3 e diferente de 6.
De acordo com o enunciado:
[tex]P(X = 3) = P(X = 6) = \dfrac{1}{3} \cdot P(X = o)[/tex]
Pois 3 e 6 são múltiplos de 3.
A soma de todas as probabilidades tem que ser 1:
[tex]P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6) = 1[/tex]
Ou seja:
[tex]P(X=o) + P(X= o) + \dfrac{1}{3} \cdot P(X = o) + P(X = o) + P(X = o) + \dfrac{1}{3} \cdot P(X = o) = 1[/tex]
[tex]4 \cdot P(X=o) + \dfrac{2}{3} \cdot P(X = o) = 1[/tex]
[tex]\dfrac{12}{3} \cdot P(X=o) + \dfrac{2}{3} \cdot P(X = o) = 1[/tex]
[tex]\dfrac{14}{3} \cdot P(X=o) = 1[/tex]
[tex]P(X=o) = 1 \cdot \dfrac{3}{14}[/tex]
[tex]P(X=o) = \dfrac{3}{14}[/tex]
Descobrimos a probabilidade da face sorteada não ser múltipla de 3.
A probabilidade de ser múltipla de 3 é um terço disso:
[tex]P(X = 3) = P(X = 6) = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3}{14} = \dfrac{1}{14}[/tex]
Agora, o exercício quer saber a probabilidade da face sorteada ser maior que três:
[tex]P(X > 3) = P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6)[/tex]
Substituindo:
[tex]P(X>3) = \dfrac{3}{14} + \dfrac{3}{14} + \dfrac{1}{14}[/tex]
[tex]P(X>3) = \dfrac{7}{14}[/tex]
[tex]\boxed{P(X>3) = \dfrac{1}{2}}[/tex]
Questão 9: Em uma população de 100 alunos da UTFPR tivemos a seguinte divisão por altura.
Altura (cm): h < 150 150 < h < 170 170 < h < 180 h > 180
Observações: 10 40 40 10
Podemos afirmar com nível de 5% de significância que alunos da UTFPR seguem uma distribuição [tex]\text{Altura} \backsim \text{Normal}(170,100)[/tex] ?
(Farei mais tarde)
Questão 10: Seja X uma variável aleatória com a seguinte função densidade de probabilidade:
[tex]f(x) = \left \{ {{2 \cdot e^{-2\cdot x}, \text{ se } x \geq 0} \atop {0\text{, caso contrario}}} \right.[/tex]
Calcule [tex]P(X > 3|X>2)[/tex]
Bem, perceba que aqui temos uma probabilidade condicional:
[tex]P(A|B) = \dfrac{P(A \cdot B)}{P(B)}[/tex]
Assim:
[tex]P(X > 3|X>2) = \dfrac{P(X > 3 \cdot X > 2)}{P(X>2)}[/tex]
A probabilidade de X ser maior que 3 e maior que 2 ao mesmo tempo é igual a probabilidade de X ser maior que 3, pois 3 é maior que 2:
[tex]P(X > 3|X>2) = \dfrac{P(X > 3)}{P(X>2)}[/tex]
Ou seja:
[tex]P(X > 3|X>2) = \dfrac{2 \cdot \int_{3}^{\infty}e^{-2\cdot x} \cdot dx}{2 \cdot \int_{2}^{\infty} e^{-2\cdot x} \cdot dx}[/tex]
Calculando as integrais:
[tex]P(X > 3|X>2) = \dfrac{-\dfrac{1}{2} \cdot e^{-2\cdot x}\bigg|_{3}^{\infty}}{-\dfrac{1}{2} \cdot e^{-2\cdot x}\bigg|_{2}^{\infty}}[/tex]
[tex]P(X > 3|X>2) = \dfrac{e^{-2\cdot \infty} - e^{-2 \cdot 3}}{e^{-2\cdot \infty}-e^{-2\cdot 2}}[/tex]
[tex]P(X > 3|X>2) = \dfrac{0 - e^{-6}}{0-e^{-4}}[/tex]
[tex]P(X > 3|X>2) = \dfrac{2.47875 \cdot 10^{-3}}{18.31564 \cdot 10^{-3}}[/tex]
[tex]P(X > 3|X>2) = 0.135335[/tex]
Ou, aproximadamente, 13.5335%.
