Questão 1: Suponha que as alturas dos homens adultos da Finlândia sigam o modelo Normal, a média [tex]\mu[/tex] é desconhecida e a variância é igual a 100 cm². Uma amostra de 100 adolescentes forneceu média de 180 cm. Construa o intervalo de 99% confiança para [tex]\mu[/tex].
Média amostral: [tex]\bar{x} = 180 \text{ cm}[/tex]
Desvio padrão: [tex]\sigma = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}[/tex]
Tamanho da amostra: [tex]n = 100[/tex]
O intervalo de confiança é:
[tex]\left[\bar{x} - z_{\frac{\alpha}{2}} \cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} ; \bar{x} + z_{\frac{\alpha}{2}} \cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right][/tex]
Probabilidade do Intervalo de Confiança conter a média populacional:
[tex]1 - \alpha = 99\%[/tex]
[tex]\alpha = 1 - 0.99[/tex]
[tex]\alpha = 0.01[/tex]
Agora:
[tex]z_{\frac{\alpha}{2}} = z_{0.005}[/tex]
Pode ser calculado por:
[tex]P(0 \leq Z \leq z_{0.005}) = 0.5 - \dfrac{\alpha}{2}[/tex]
[tex]P(0 \leq Z \leq z_{0.005}) = 0.5 - \dfrac{0.01}{2}[/tex]
[tex]P(0 \leq Z \leq z_{0.005}) = 0.5 - 0.005[/tex]
[tex]P(0 \leq Z \leq z_{0.005}) = 0.495[/tex]
Agora, se você procurar na tabela Z (em anexo) o valor mais próximo de 0.995, verá que o coeficiente de confiança para 99% é aproximadamente 2,575. Então:
[tex]z_{0.005} = 2.575[/tex]
Agora, basta substituir os valores para calcular o I.C.:
[tex]\left[180 - 2.575 \cdot \dfrac{10}{\sqrt{100}} ; 180 + 2.575 \cdot \dfrac{10}{\sqrt{100}}\right][/tex]
[tex]\left[180 - 2.575 \cdot \dfrac{10}{10} ; 180 + 2.575 \cdot \dfrac{10}{10}\right][/tex]
[tex]\left[180 - 2.575 \cdot 1 ; 180 + 2.575 \cdot 1\right][/tex]
[tex]\left[180 - 2.575; 180 + 2.575\right][/tex]
[tex]\left[177.425; 182.575\right][/tex]
