Questão 6: O supervisor de qualidade de uma fábrica de artigos esportivos suspeita que no mês passado houveram mais artigos com defeito do que o normal. Para testar essa hipótese que num lote de 81 artigos, para 19 deles foram encontrados defeito. Sabendo que a proporção de artigos, em geral, é de 15%.
a) Teste a hipótese adequada com 5% de significância com base na região de rejeição, na escala original dos dados para avaliar se o número de artigos defeituosos aumentou.
Hipótese nula:
[tex]H_0: p = 0.15[/tex]
Hipótese alternativa unilateral à direita:
[tex]H_1: p > 0.15[/tex]
Nível de significância adotado:
[tex]\alpha = 0.05[/tex]
Expressando o valor de Z para o teste de 1 proporção:
[tex]Z = \dfrac{p - \pi_0}{\sqrt{\dfrac{\pi_0 \cdot (1 - \pi_0)}{n}}}[/tex]
Onde:
[tex]\pi_0[/tex] é a proporção obtida anteriormente (15% = 0.15);
[tex]n[/tex] é o tamanho da amostra (81 artigos).
[tex]Z[/tex] é o valor na tabela Z representando o nível de significância do teste.
[tex]p[/tex] é necessário para definir a região crítica.
Então, substituindo:
[tex]Z = \dfrac{p - 0.15}{\sqrt{\dfrac{0.15 \cdot (1 - 0.15)}{81}}}[/tex]
[tex]Z = \dfrac{p - 0.15}{\sqrt{\dfrac{0.15 \cdot 0.85}{81}}}[/tex]
[tex]Z = \dfrac{p - 0.15}{\sqrt{\dfrac{0.1275}{81}}}[/tex]
[tex]Z = \dfrac{p - 0.15}{0.03967}[/tex]
A região crítica é:
[tex]RC = \{\hat{p} \geq p \}[/tex]
Como nesse caso utilizamos a cauda à direita da normal, é preciso olhar na tabela Z para encontrar qual o valor mais próximo de 1 - 0.05 = 0.95.
O valor de Z nesse caso é 1.645 (tabela em anexo). Assim:
[tex]1.645 = \dfrac{p - 0.15}{0.03967}[/tex]
Isolamos [tex]p[/tex]:
[tex]1.645 \cdot 0.03967 = p - 0.15[/tex]
[tex]0.065265 = p - 0.15[/tex]
[tex]p = 0.15 + 0.065265[/tex]
[tex]p = 0.2152647[/tex]
Logo:
[tex]RC = \{\hat{p} \geq 0.2152647 \}[/tex]
Agora observamos a evidência na amostra a partir dos dados do enunciado:
[tex]\hat{p}_{obs} = \dfrac{19}{81} = 0.234568[/tex]
Assim:
[tex]\hat{p}_{obs} = 0.234568 \in RC[/tex]
Rejeita-se [tex]H_0[/tex].
Conclui-se que as evidências apontam que o número de artigos defeituosos aumentou.
Questão 7: Uma variável aleatória X tem função de probabilidade dada por:
[tex]p(x) = 2^{-x}\text{ , }\{x = 1\text{, }2\text{, }3\text{, ...}\}[/tex]
Demonstre que p(x) é uma função de probabilidade.
Bem, aqui para termos uma função de probabilidade há duas condições que precisam ser atendidas:
1) Toda probabilidade deve estar contida no intervalo entre 0 e 1;
2) A soma de todas as probabilidades precisa ser 1.
A primeira condição é simples de ser demonstrada. Basta testar a função para diferentes valores de x e perceber que:
[tex]p(1) = 2^{-1} = \dfrac{1}{2} = 0,5[/tex]
[tex]p(2) = 2^{-2} = \dfrac{1}{4} = 0,25[/tex]
[tex]p(3) = 2^{-3} = \dfrac{1}{8} = 0, 125[/tex]
[tex]p(\infty) = 2^{-\infty} = 0[/tex]
Ou seja, a condição é satisfeita.
A segunda condição pode ser atendida se perceber que a soma das probabilidades é dada por:
[tex]S = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2^3} + ... = \sum_{i = 0}^{\infty} \dfrac{1}{2} \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^i[/tex]
E isso é uma série geométrica com [tex]a = \dfrac{1}{2}[/tex] e [tex]r = \dfrac{1}{2}[/tex]
A soma da série geométrica é dada por:
[tex]S = \dfrac{a}{1 - r}[/tex]
Substituindo:
[tex]S = \dfrac{\dfrac{1}{2}}{1 - \dfrac{1}{2}} = \dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{2}} = 1[/tex]
Demonstrando que a segunda condição também é satisfeita e essa é uma função de probabilidade.
