Resposta:
A área do quadrado formado pelos afixos dos complexos que são raízes quartas de 9 vale 6 u.a.
Explicação passo a passo:
Para encontrar os afixos das raízes precisamos determinar as raízes quartas do complexo z = 9. Para isso, podemos analisar da seguinte forma:
- As raízes de um complexo formam sempre um polígono regular (n ≥ 3).
- Como o polígono é regular o ângulo central é igual a 360º/n
- Cada raiz é sofre uma rotação de acordo com o valor do ângulo central.
Com base nessas informações:
1º passo: Colocar o complexo z = 9 na forma trigonométrica.
z = 9 cis 0º
2º passo: Como queremos as raízes quartas, o ângulo central é 360º/4 = 90º
3º passo: Determinar a 1ª raiz do complexo, extraindo a raiz do módulo e dividindo o argumento por 4 e em seguida as demais raízes efetuando a rotação de 90º (somando 90º) ao argumento da 1ª raiz.
[tex]z_0=\sqrt[4]{9} \ cis \ 0^{\circ}=\sqrt{3} \ cis \ 0^{\circ}\\\\z_1=\sqrt[4]{9} \ cis \ 90^{\circ}=\sqrt{3} \ cis \ 90^{\circ}\\\\z_2=\sqrt[4]{9} \ cis \ 180^{\circ}=\sqrt{3} \ cis \ 180^{\circ}\\\\z_3=\sqrt[4]{9} \ cis \ 270^{\circ}=\sqrt{3} \ cis \ 270^{\circ}\\[/tex]
Podemos observar que as raízes são diametralmente opostas e como formam um quadrado temos que a medida da sua diagonal vale 2√3. Portanto seu lado vale:
d = l√2
2√3 = l√2
l = √6
Cuja área é:
A = l²
A = (√6)²
A = 6 u.a.
