Olá, Ana120.
Para demonstrar o teorema do enunciado, deveremos analisar duas situações: quando a não é divisível por b e quando a é divisível por b.
Situação 1: a não é divisível por b
Neste caso, o único divisor comum entre eles é 1 [tex]\Rightarrow \boxed{mdc(a,b)=1}[/tex]
Suponhamos agora que exista outro múltiplo comum de a e b diferente de a.b .
Então:
[tex]\exists k_1,k_2\in\mathbb{N}|k_1a=m\text{ e }k_2b=m \Rightarrow k_1a=k_2b \Rightarrow k_2=k_1\cdot \frac a b[/tex]
Ocorre que a não é divisível por b. Isto implica que:
[tex]\frac a b \notin \mathbb{N} \Rightarrow \text{Como }k_1\in \mathbb{N}\text{ e }k_2=\frac a b \cdot k_1,\text{ent\~ao }k_2\notin \mathbb{N}[/tex]
Isto é um absurdo, pois, por hipótese, tínhamos que [tex]k_2 \in \mathbb{N}[/tex]. Como esta hipótese decorre do fato de supormos que exista algum outro múltiplo comum de a e b diferente de a.b, então:
[tex]\boxed{mmc(a,b) = a\cdot b}[/tex]
[tex]\therefore \boxed{mdc(a,b)\cdot mmc(a,b)=1 \cdot ab=a\cdot b}[/tex]
Situação 2: a é divisível por b
a é divisível por b. Isto implica que:
[tex]\exists k \in \mathbb{N}|\frac a b = k \Rightarrow a=k\cdot b \Rightarrow mdc(a,b)=mdc(k\cdot b,b)\\\\ \Rightarrow \boxed{mdc(a,b)=b}[/tex]
[tex]\Rightarrow mmc(a,b)=mmc(k\cdot b,b)=k \cdot b=a\Rightarrow mmc(a,b)=a\\\\ \therefore \boxed{mdc(a,b) \cdot mmc(a,b)=b \cdot a = a\cdot b}[/tex]
