Sejam [tex]\text{a}[/tex] e [tex]\text{b}[/tex] esses números, com [tex]\text{a}>\text{b}[/tex].
Segundo o enunciado, podemos escrever:
[tex]\begin{cases} \text{a}+\text{b}=14 \\ \text{a}^2-2\text{b}=52 \end{cases}[/tex]
Da primeira equação, obtemos:
[tex]\text{b}=14-\text{a}[/tex]
Substituindo na segunda equação:
[tex]\text{a}^2-2\cdot(14-\text{a})=52[/tex]
[tex]\text{a}^2-28+2\text{a}-52=0[/tex]
[tex]\text{a}^2+2\text{a}-80=0[/tex]
[tex]\text{a}=\dfrac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot1\cdot(-80)}}{2\cdot1}=\dfrac{-2\pm18}{2}[/tex]
[tex]\text{a}'=\dfrac{-2+18}{2}=8[/tex]
[tex]\text{a}''=\dfrac{-2-18}{2}=-10[/tex]
Desta maneira, como [tex]\text{a}\in\mathbb{N}[/tex], temos que [tex]\text{a}=8[/tex].
Substituindo na primeira equação:
[tex]8+\text{b}=14[/tex]
[tex]\text{b}=14-8=6[/tex]
Logo, os números procurados são [tex]8[/tex] e [tex] 6[/tex].
