Temos a seguinte integral definida:
[tex] \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \int \limits_{1}^{4} f(x) \: dx \\ [/tex]
Também temos uma função com restrições:
[tex]f(x) = \begin{cases} 4x {}^{2} - 1, \: se \: x \leqslant 2 \\ x {}^{3} + 3, \: se \: x > 2\end{cases}[/tex]
Devemos lembrar de uma coisa também, essa tal coisa é que quando temos uma integral definida em relação a x, os seus limites são os valores do intervalo a qual essa integral tá sendo calculada, ou seja, a integral que temos é:
[tex]\int \limits_{x_2}^{x_1} f(x) \: dx , \: \: x_1 = 4 \: e \:x_2 = 1\\ ou \: seja \: \to \: \: [1,4][/tex]
Esse é o intervalo que temos definido para essa integral, portanto para calcularmos o valor da mesma com esses dados informados, vamos ter que desmembrar essa integral indo do menor ponto que é 1 e indo até o ponto informado, que é 2, após isso devemos somar essa integral a outra que vai do ponto informado 2, até o maior ponto que é 4. Cada integral usará uma função diferente, por causa do intervalo informado, ou seja, para o intervalo [1,2], devemos usar a função para valores menores que 2 (x ≤ 2), já para o intervalo [2,4], vamos usar a função correspondente a ( x > 2). Fazendo isso temos:
[tex] \int \limits_{1}^{2} 4x {}^{2} - 1 \: dx + \int \limits_{2}^{4}x {}^{3} + 3 \: dx \\ [/tex]
Agora é só calcular as integrais normalmente:
[tex] \int 4x {}^{2} - 1 \: dx + \int x {}^{3} + 3 \: dx \\ \left[ 4. \frac{x {}^{2 + 1} }{2 + 1} - 1. \frac{x {}^{0 + 1} }{0 + 1} \right] \bigg|_{1}^{2} + \left[\frac{x {}^{3 + 1} }{3 + 1} + 3. \frac{x {}^{0 + 1} }{0 + 1} \right] \bigg|_{2}^{4} [/tex]
Substituindo os limites de integração:
[tex] \left( 4.\frac{2 {}^{3} }{3} - 1.2 \right)- \left(4. \frac{1 {}^{3} }{3} - 1.1 \right) + \left( \frac{4 {}^{4} }{4} +3.4 \right) - \left( \frac{2 {}^{4} }{4} + 3.2 \right) \\ \\ \boxed{ \boxed{ \boxed{ \frac{223}{3} }}}[/tex]
Espero ter ajudado
