Vamos começar calculando valor do Δ (discriminante) da função f(x)=x²+3x+7 e, dessa forma, poderemos determinar se essa função possui raízes Reais e, caso positivo, quantas são.
[tex]\sf \Delta~=~b^2-4\cdot a\cdot c\\\\\Delta~=~3^2-4\cdot 1\cdot 7\\\\\Delta~=~9-28\\\\\boxed{\sf \Delta~=\,-19}\\[/tex]
Como Δ é negativo, a função não possui raízes Reais, ou seja, a parábola, representação gráfica da função (2º grau), nunca tocará o eixo das abscissas (eixo horizontal) do plano cartesiano.
Quando não há raízes Reais, há duas possibilidades, ou toda parábola está acima do eixo das abscissas, ou toda parábola está abaixo do eixo das abscissas.
Essa orientação do gráfico é definida pela sua concavidade, se a concavidade está voltada para cima, todo gráfico está acima do eixo horizontal, se voltada para baixo, todo gráfico estará abaixo do eixo horizontal. [Veja na figura anexada estas dois exemplos dessa orientação]
Sem mais delongas, vamos às afirmações feitas (fora de ordem).
II. Falso
A concavidade da parábola pode ser determinada pelo sinal do coeficiente "a" da função, o coeficiente que multiplica x², se o sinal for positivo, a parábola estará voltada para cima, se negativo, voltada para baixo. Em "x²+3x+7", o coeficiente "a" vale 1 e, portanto, é positivo, logo a parábola está voltada para cima.
III. Falso
Como explicado anteriormente, como não há raízes Reais e a concavidade está voltada para cima, toda parábola estará acima do eixo das abscissas.
I. Verdadeiro
Note que, até agora, tratamos a inequação como uma equação, não houve qualquer menção à inequação. Isso aconteceu pelo simples fato de não haver raízes Reais.
A inequação quer o intervalo de valores de "x" para os quais a função "x²+3x+7" assume um valor positivo, isto é, queremos determinar todo valor possível para "x" que, ao substituirmos na função, resulte que um valor positivo (>0).
No entanto, como vimos nas afirmações (I) e (II), toda parábola está acima do eixo horizontal, logo, seja qual for o "x" substituído na função, obteremos um valor maior que 0.
Com isso, podemos afirmar que todo x pertencente aos Reais é solução da inequação dada.
IV. Verdadeiro
Como a parábola está voltada para cima, haverá um valor mínimo. Para esta inequação, como o vértice está no conjunto solução da inequação e a concavidade da parábola está voltada para cima, ele dará as coordenadas do ponto de mínimo da inequação.
Colocando em ordem, a resposta fica: V,F,F,V
[tex]\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio[/tex]
