[tex]\Large {\text {$ \it Isto \: \: \acute{e} :$}}[/tex]
[tex]\Large {\text{$ \bf \left\{\begin{array}{ccc}\\\bf a^2 = 561+b^2\\ \bf a = 17+b \\\\ \end{array}\right $}}[/tex]
[tex]\Large {\text{$ \it Podemos \:\: fazer\:\: a^2 =(17+b)^2 \:\: e\:\: fazer \:\: a \:\: distributiva: $}}[/tex]
[tex]\Large {\text {$ \bf 289+34b+b^2 \quad \Rightarrow \quad \boxed {\bold {289+34b+\not{b}^2= 561+\not{b}^2}} $}}[/tex]
[tex]\Large {\text {$ \swarrow$}}[/tex]
[tex]\Large {\text {$ \bf 34b = 272 \quad \Rightarrow \quad \boxed {\bold {b=8}} $}}[/tex]
[tex]\Large {\text{$ \it Agora \:\: facilita \:\: nossa \:\: vida,\:\: j \acute{a}\:\: que \:\: fica \:\: f \acute{a}cil \:\: de \:\: descobrir: $}}[/tex]
[tex]\Large {\boxed {\bf a =25}}[/tex]
[tex]\Large{\text{$ \it {\bf D}escobriremos \: \: k \:\:e\:\: 2^p :$}}[/tex]
[tex]\Large {\text {$ \bf \not{5}^{\frac{k}{2} } = \not{5}^2 \quad \Rightarrow \quad \boxed{\bf k=4} $}}[/tex]
[tex]\Large{\text {$ \bf 2^p = 8 \quad \Rightarrow \quad \boxed{\bf p = 3} $}}[/tex]
[tex]\Large {\text {$ \it Substitui \:\: isso \:\: em \:\: \bf \cfrac{p^k-k^p}{p^k+k^p}: $}}[/tex]
[tex]\LARGE \boxed {\boxed {\bold {\cfrac{17}{145} }}}[/tex]
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⠀⠀O valor dessa fração algébrica é igual a 17/145, então a alternativa c) é a correta.
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⠀⠀De início a questão nos fornece as equações [tex]\small\text{$\sf 5^k=561+2^{2p}$}[/tex] e [tex]\small\text{$\sf 5^\frac{k}{2}=17+2^p$}[/tex], e em seguida, pede-se o resultado de uma fração que envolve os valores de k e p. Analisando melhor as equações supracitadas, percebemos que é possível fazer um artifício de cálculo, que consistirá em substituir os termos 5ᵏ e 2ᵖ por letras que farão o papel de incógnitas provisórias, digamos assim. À vista disso, estarei fazendo 5ᵏ = x e 2ᵖ = y, de forma que:
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⠀⠀Agora fica fácil de resolver com essas novas variáveis. Veja que podemos substituir o valor de x da eq. (i) na eq. (ii), de modo que tenhamos:
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[tex]\begin{array}{l}\implies~~~~\sf x^\frac{1}{2}=17+y\\\\\\\sf\implies~~~~(561+y^2)^\frac{1}{2}=17+y\\\\\\\sf\implies~~~~\big[(561+y^2)^\frac{1}{2}\big]^2=(17+y)^2\\\\\\\sf\implies~~~~(561+y^2)^\frac{2}{2}=17\:\!^2+2\cdot17\cdot y+y^2\\\\\\\sf\implies~~~~(561+y^2)^1=289+34y+y^2\\\\\\\sf\implies~~~~561+y^2=289+34y+y^2\\\\\\\sf\implies~~~~y^2-y^2+34y=561-289\\\\\\\sf\implies~~~~0+34y=272\\\\\\\sf\implies~~~~y=\dfrac{272}{34}\\\\\\\sf\implies~~~~y=8\end{array}[/tex]
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⠀⠀Agora substituindo o valor definido de y na eq. (i), teremos:
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[tex]\begin{array}{l}\implies~~~~\sf x=561+y^2\\\\\\\sf\implies~~~~x=561+8^2\\\\\\\sf\implies~~~~x=561+64\\\\\\\sf\implies~~~~x=625\end{array}[/tex]
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⠀⠀Assim, com os valores definidos de x e y podemos retomar à 5ᵏ = x e 2ᵖ = y, de modo a obter:
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[tex]\large\begin{array}{c}\sf5^k=x\\\\\\\sf5^k=625\\\\\\\sf5^k=5^4\\\\\\\!\boxed{\sf k=4}\end{array}\sf\qquad\land\qquad\begin{array}{c}\sf2^p=y\\\\\\\sf2^p=8\\\\\\\sf2^p=2^3\\\\\\\!\boxed{\sf p=3}\end{array}[/tex]
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⠀⠀Por fim, basta encontrar o valor da fração algébrica supracitada com os valores definidos de k e p:
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[tex]\begin{array}{l}\sf=~~~~\dfrac{p^k-k^p}{p^k+k^p}\\\\\\\sf=~~~~\dfrac{3^4-4^3}{3^4+4^3}\\\\\\\sf=~~~~\dfrac{81-64}{81+64}\\\\\\\sf=~~~~\dfrac{17}{145}\end{array}[/tex]
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⠀⠀Portanto, a alternativa c) 17/145 responde a questão.
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[tex]\large\boldsymbol{\text{$\mathsf{-x-}~~Q\upsilon es\tau\alpha\theta~f\iota\eta\alpha l\iota z\alpha\delta\alpha~~\mathsf{-x-}$}}[/tex]
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[tex]\!\!\!\!\Large\boldsymbol{\begin{array}{l}\beta\gamma~N\alpha sg\theta v\alpha sk\theta v\\\Huge\text{\sf ---------------------------------------------}\end{array}}[/tex]
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[tex]\large\boldsymbol{\text{$O\beta r\iota g\alpha\delta\theta~\rho el\alpha~q\upsilon es\tau\alpha\theta~e~\upsilon m~cor\delta\iota\alpha l~\alpha \beta r\alpha c_{\!\!\!,}\,\theta!\ \heartsuit\heartsuit$}}[/tex]
