Resposta:
[tex]y =+\sqrt{\frac{1-x}{x}}[/tex] ∨ [tex]y =-\sqrt{\frac{1-x}{x}}[/tex] quando x ≠ { 0 ; 1 }
( tem anexo com o gráfico da função original )
Explicação passo a passo:
Função inversa
Observação 1 → Condições para uma função ter função inversa
Para existir função inversa a função original tem que ser injetiva e
sobrejetiva (simultaneamente )
Quando tem as duas caraterísticas em simultâneo diz-se que é função
bijetiva.
Função Injetiva → é quando a um valor de x corresponde um e apenas um
valor em y.
Função Sobrejetiva → é quando o contradomínio coincide com o conjunto
de chegada.
Primeiro olhar para o domínio da função inicialmente dada.
[tex]y=\frac{1}{1+x^2}[/tex]
É uma função real de variável real.
Seu domínio só tem uma restrição :
→ o denominador tem de ser diferente de zero.
Divisões por zero são impossíveis de resolver em |R.
1 + x²
→ x for positivo ou negativo quando elevados ao quadrado dão sempre
positivo
Um número positivo + 1 = valor positivo diferente de zero
se x = 0 zero mais 1 = 1 logo valor positivo, diferente de zero
O denominador vem sempre positivo e diferente de zero.
O domínio é |R .
O contradomínio é R. É sobrejetiva
Quando x toma quaisquer valores reais, tem apenas uma só representação
no conjunto de chegada.
Logo é injetiva.
Podemos logo de início trocar as variáveis.
E resolver em ordem a y
[tex]x=\frac{1}{1+y^2}[/tex]
Multiplicar ambos os membros por 1 + y²
[tex](1 + y^{2})*x =\frac{1*(1+y^{2}) }{1+y^2}[/tex]
No segundo membro o ( 1 + y² ) no numerador cancela-se com igual
expressão no denominador.
Observação 2 → Isto pode ser feito pois já mostramos atrás que 1 + y² ≠ 0
Usar a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição
algébrica ( regra do "chuveirinho" )
[tex]1*x + x*y^{2} =1[/tex]
Resolver em ordem a y
[tex]x*y^{2} =1-x[/tex]
[tex]\frac{x*y^{2}}{x} =\frac{1-x}{x}[/tex]
No primeiro membro , x do numerador cancela-se com o x do
denominador.
[tex]y^{2} =\frac{1-x}{x}[/tex]
[tex]y =+\sqrt{\frac{1-x}{x}}[/tex] ∨ [tex]y =-\sqrt{\frac{1-x}{x}}[/tex]
A função inversa tem restrições no domínio:
→ 0 denominador da fração no radicando tem de ser ≠ 0
→ a fração do radicando tem que ser > 0
[tex]\frac{1-x}{x}\neq 0[/tex]
Multiplicar por x ambos os membros.
Observação 3 → É possível fazer porque agora viu-se que x ≠ 0
[tex]\frac{(1-x)*x}{x}\neq 0*x[/tex]
No primeiro membro o x no numerador cancela-se com o x no
denominador,
( pode - se fazer o cancelamento, porque x ≠ 0 )
[tex]1-x\neq 0[/tex]
- x ≠ - 1
x ≠ 1
Domínio da função inversa { x ∈ |R | ↑x ∈ |R \ {∈0 ; 1 }
Bons estudos.
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( * ) multiplicação ( ∈ ) pertence a ( ∨ ) ou ( ≠ ) diferente de
( |R ) conjunto dos números reais
