Resposta: a) [tex]\frac{5}{16}[/tex]
Resolução:
Deixo em anexo os círculos trigonométricos com os sinais das três funções trigonométricas em cada um dos Quadrantes, para que possas entender melhor a resolução.
Sabemos que:
[tex]\bullet\;\;\sin{x}=\dfrac{1}{2}[/tex]
[tex]\bullet\;\;\;0<x<\dfrac{\pi}{2}[/tex]
Vamos começar por determinar o valor de [tex]\cos{x}[/tex]:
[tex]\cos^2x+\sin^2x=1\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow\cos^2x+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=1\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow\cos^2x+\dfrac{1}{4}=1\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow\cos^2x=1-\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow\cos^2x=\dfrac{4}{4}-\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow\cos^2x=\dfrac{3}{4}\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow\cos x=\pm\sqrt{\dfrac{3}{4}}\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow\cos x=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}}\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow\cos x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\;\;\;\vee\;\;\;\cos x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow\cos x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\;\;\;,\;x\in1^o\;Quadrante[/tex]
Assim, temos que:
[tex]\cos^4x-\sin^2x=[/tex]
[tex]=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^4-\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=[/tex]
[tex]=\dfrac{9}{16}-\dfrac{1}{4}=[/tex]
[tex]=\dfrac{9}{16}-\dfrac{4}{16}=[/tex]
[tex]=\dfrac{5}{16}[/tex]
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