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⠀⠀Determinando a soma e o produto de cada uma das raízes e encontrando a equação do 2º grau, temos:
- a) S = 22 e P = 120. Eq.: x² – 22x + 120 = 0;
- b) S = – 40 e P = 175. Eq.: x² + 40x + 175 = 0;
- a) S = 51 e P = 344. Eq.: x² – 51x + 120 = 0.
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⠀⠀É sabido que uma equação do 2º grau se situa na forma ax² + bx + c = 0, onde a, b e c são os coeficientes reais, com a ≠ 0. Agora pela soma ''S'' e pelo produto ''P'' das raízes reais x₁ e x₂, podemos dizer que uma equação do 2º grau, com o coeficiente líder ''a'' igual a 1, se situa na forma x² – Sx + P = 0, ou seja x² – (x₁ + x₂)x + x₁x₂ = 0. Dessa forma, podemos afirmar que o simétrico da soma das raízes é igual ao coeficiente ''b'', ou seja, – (x₁ + x₂) = b, e o produto das raízes é igual ao coeficiente ''c'', isto é, x₁x₂ = c.
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⠀⠀Com base no supradito, vamos encontrar as equações a partir de suas raízes e determinar a soma ''S'' e o produto ''P'' delas:
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a) x₁ = 10 e x₂ = 12
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[tex]\begin{array}{l}\implies~~~~\sf x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0\\\\\\\sf\implies~~~~x^2-(10+12)x+10\cdot12=0\\\\\\\sf\implies~~~~x^2-(22)x+120=0\\\\\\\implies~~~~\!\boxed{\sf x^2-22x+120=0}\end{array}[/tex]
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⠀⠀Portanto, temos que S = 22 e P = 120, e a equação é x² – 22x + 120 = 0.
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b) x₁ = – 5 e x₂ = – 35
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[tex]\begin{array}{l}\implies~~~~\sf x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0\\\\\\\sf\implies~~~~x^2-(-\,5-35)x+(-\,5)\cdot(-\,35)=0\\\\\\\sf\implies~~~~x^2-(-\,40)x+175=0\\\\\\\implies~~~~\!\boxed{\sf x^2+40x+175=0}\end{array}[/tex]
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⠀⠀Portanto, temos que S = – 40 e P = 175, e a equação é x² + 40x + 175 = 0.
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c) x₁ = 8 e x₂ = 43
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[tex]\begin{array}{l}\implies~~~~\sf x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0\\\\\\\sf\implies~~~~x^2-(8+43)x+8\cdot43=0\\\\\\\sf\implies~~~~x^2-(51)x+344=0\\\\\\\implies~~~~\!\boxed{\sf x^2-51x+344=0}\end{array}[/tex]
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⠀⠀Portanto, temos que S = 51 e P = 344, e a equação é x² – 51x + 344 = 0.
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[tex]\large\boldsymbol{\text{$\mathsf{-x-}~~Q\upsilon es\tau\alpha\theta~f\iota\eta\alpha l\iota z\alpha\delta\alpha~~\mathsf{-x-}$}}[/tex]
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[tex]\!\!\!\!\Large\boldsymbol{\begin{array}{l}\beta\gamma~N\alpha sg\theta v\alpha sk\theta v\\\Huge\text{\sf ---------------------------------------------}\end{array}}[/tex]
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