Resposta: c) -1
Resolução:
Sabendo que os zeros da 1ª derivada de uma função nos dão os possíveis máximos e mínimos da função original, comecemos por determinar a expressão de [tex]x'[/tex] e os seus zeros.
Nota: Nos Cálculos Auxiliares vais reparar que usei uma regra da Trigonometria que nos diz que [tex]\cos(\arcsin(x))=\sqrt{1-x^2}[/tex].
[tex]x=-3\cos^2\alpha-2\sin\alpha+2[/tex]
[tex]x'=\left(-3\cos^2\alpha-2\sin\alpha+2\right)'\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow x'=\left(-3\cos^2\alpha\right)'-(2\sin\alpha)'+2'\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow x'=-3\left(\cos^2\alpha\right)'-2(\sin\alpha)'+2'\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow x'=-3[2\cos\alpha\times(-\sin\alpha)]-2\cos\alpha+0\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow x'=6\sin\alpha\cos\alpha-2\cos\alpha[/tex]
[tex]x'=0\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow6\sin\alpha\cos\alpha-2\cos\alpha=0\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow3\sin\alpha\cos\alpha-\cos\alpha=0\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow\cos\alpha(3\sin\alpha-1)=0\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow\cos\alpha=0\;\;\;\vee\;\;\;3\sin\alpha-1=0\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow\alpha=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\;\;\;\vee\;\;\;3\sin\alpha=1\Leftrightarrow\;\;\;,\;k\in\mathbb{Z}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow\alpha=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\;\;\;\vee\;\;\;\sin\alpha=\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow\;\;\;,\;k\in\mathbb{Z}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow\alpha=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\;\;\vee\;\;\alpha=\arcsin\left(\dfrac{1}{3}\right)+2k\pi\;\vee\;\;\alpha=\pi-\arcsin\left(\dfrac{1}{3}\right)+2k\pi\Leftrightarrow\;\;,\;k\in\mathbb{Z}[/tex]
Como esta é uma função periódica, tem infinitos zeros, pelo que temos de averiguar aqueles que estão dentro do Domínio dado (α ϵ [0; π/2]).
Seja [tex]k=0[/tex]:
[tex]\alpha=\dfrac{\pi}{2}\;\checkmark\;\;\;\vee\;\;\;\alpha=\underbrace{\arcsin\left(\dfrac{1}{3}\right)}_{{\approx\;0,3398\;<\;\dfrac{\pi}{2}}}\;\checkmark\;\;\;\vee\;\;\;\alpha=\underbrace{\pi-\arcsin\left(\dfrac{1}{3}\right)}_{{\approx\;2,8018\;>\;\dfrac{\pi}{2}}}\;\bold{x}[/tex]
Seja [tex]k=1[/tex]:
[tex]\alpha=\underbrace{\dfrac{3\pi}{2}}_{{>\;\dfrac{\pi}{2}}}\;\;\bold{x}\;\;\;\vee\;\;\;\alpha=\underbrace{\arcsin\left(\dfrac{1}{3}\right)+2\pi}_{{\approx\;6,6230\;>\;\dfrac{\pi}{2}}}\;\;\bold{x}[/tex]
Seja [tex]k=-1[/tex]:
[tex]\alpha=\underbrace{-\dfrac{\pi}{2}}_{{<\;0}}\;\;\bold{x}\;\;\;\vee\;\;\;\alpha=\underbrace{\arcsin\left(\dfrac{1}{3}\right)-2\pi}_{{\approx\;-5,9433\;<\;0}}\;\;\bold{x}\;\;\;\vee\;\;\;\alpha=\underbrace{\pi-\arcsin\left(\dfrac{1}{3}\right)-2\pi}_{{\approx\;-3,4814\;<\;0}}\;\;\bold{x}[/tex]
Logo, os zeros de x dão-se em:
[tex]\alpha=\left\{\dfrac{\pi}{2}\;;\;\arcsin\left(\dfrac{1}{3}\right)\right\}[/tex]
Vamos, agora, construir uma tabela de monotonia e sinal, de forma a avaliar os máximos e mínimos de x.
α | 0 | | arcsin(1/3) | | π/2 |
x |max| [tex]\searrow[/tex] | min | [tex]\nearrow[/tex] | max |
x' | -2 | - | 0 | + | 0 |
[tex]\text{M\'{a}ximos de x}:(0\;;\;-1)\;\;\;\text{e}\;\;\;\left(\dfrac{\pi}{2}\;;\;0}\right)\\\\\text{M\'{i}nimos de x}:\left(\arcsin\left(\dfrac{1}{3}\right)\;;\;-\dfrac{4}{3}\right)[/tex]
Podemos, agora, somar o maior valor de x (maior máximo) com o menor valor de x (menor mínimo):
[tex]\text{Maior Valor de x}+\text{Menor Valor de x}=[/tex]
[tex]=0+\left(-\dfrac{4}{3}\right)=[/tex]
[tex]=-\dfrac{4}{3}\approx-1[/tex]
Cálculos Auxiliares
[tex]x(0)=-3\cos^2(0)-2\sin(0)+2=-3\times1^2-2\times0+2=-3+2=-1[/tex]
[tex]x\left(\arcsin\dfrac{1}{3}\right)=[/tex]
[tex]=-3\cos^2\left(\arcsin\dfrac{1}{3}\right)-2\sin\left(\arcsin\dfrac{1}{3}\right)+2=[/tex]
[tex]=-3\left(\sqrt{1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^2}\right)^2-2\times\dfrac{1}{3}+2=[/tex]
[tex]=-3\left(1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^2}\right)-\dfrac{2}{3}+\dfrac{6}{3}=[/tex]
[tex]=-3\left(\dfrac{9}{9}-\dfrac{1}{9}\right)+\dfrac{4}{3}=[/tex]
[tex]=-3\times\dfrac{8}{9}+\dfrac{4}{3}=[/tex]
[tex]=-\dfrac{8}{3}+\dfrac{4}{3}=[/tex]
[tex]=-\dfrac{4}{3}[/tex]
[tex]x\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=-3\cos^2\left(\dfrac{\pi}{2}\right)-2\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)+2=-3\times0-2\times1+2=-2+2=0[/tex]
[tex]x'(0)=6\sin(0)\cos(0)-2\cos(0)=6\times0\times1-2\times1=0-2=-2[/tex]
[tex]x'\left(\arcsin\dfrac{1}{3}\right)=[/tex]
[tex]=6\sin\left(\arcsin\dfrac{1}{3}\right)\cos\left(\arcsin\dfrac{1}{3}\right)-2\cos\left(\arcsin\dfrac{1}{3}\right)=[/tex]
[tex]=6\times\dfrac{1}{3}\sqrt{1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^2}-2\sqrt{1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^2}=[/tex]
[tex]=2\sqrt{1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^2}-2\sqrt{1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^2}=[/tex]
[tex]=0[/tex]
[tex]x'\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=6\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)-2\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=6\times1\times0-2\times0=0-0=0[/tex]
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