Resposta:
A fórmula para se calcular o volume de uma semiesfera, ou seja, de uma calota esférica, é dada por:
V = 1/3 ∙ π ∙ h² ∙ (3r – h)
E através desta fórmula podemos calcular não só o volume, mas também a altura h e o raio r, dependendo, é claro, dos valores dado no problema.
Dados:
V = 280
π = 3,14
r = 6 m
h = ?
280 = 3,14/3 ∙ h² ∙ (3 ∙ 6 – h)
280 = 3,14/3 ∙ h² ∙ (18 – h)
3,14/3 ∙ h² ∙ (18 – h) = 280
3,14h² ∙ (18 – h) = 280 ∙ 3
Fazendo a distributiva no primeiro membro, temos:
56,52h² – 3,14h³ = 840
– 3,14 h³ + 56,52h² – 840 = 0
Chegamos, então, numa equação do 3º grau.
Usando uma Calculadora de Equações do Terceiro Grau encontrei três raízes como resposta para esta equação acima.
Então, as raízes da equação do 3º grau: – 3,14 h³ + 56,52h² – 840 = 0, são:
h₁ ≅ 17,083
h₂ ≅ – 3,525
h₃ ≅ 4,442
Mas precisamos lembrar que o reservatório de água em forma de semiesfera, tem raio medindo 6 metros. Ou seja, a raiz h₁ não é válida como resposta, pois ultrapassa, e muito, o tamanho real do raio. E h₂ também não serve como resposta, por resultar em um valor negativo, visto que não existe altura h negativa. Então, a raiz (altura h) que satisfaz o nosso problema dado é apenas h₃.
Resposta: A altura h máxima permitida é de aproximadamente 4,442 metros.
VERIFICAÇÃO:
h ≅ 4,442 m
V = 1/3 ∙ π ∙ h² ∙ (3r – h)
280 = 3,14/3 ∙ (4,442)² ∙ (3 ∙ 6 – 4,442)
280 = 3,14/3 ∙ 19,731364 ∙ (18 – 4,442)
280 = 3,14/3 ∙ 19,731364 ∙ 13,558
280 = 840/3
280 = 280
CONFIRMADO!
A altura h máxima permitida é de aproximadamente 4,442 metros (ou 4,44 m).
