Resposta:
resposta: 135°
Explicação passo a passo:
O número total de diagonais de um polígono é:
[tex]D = \frac{n(n - 3)}{2}[/tex]
Onde:
D = número de diagonais = 20
n = número de lados = ?
Então derivando a fórmula obtemos:
[tex]D = \frac{n(n - 3)}{2}[/tex]
[tex]2D = n(n - 3)[/tex]
[tex]2D = n^{2} - 3n[/tex]
[tex]n^{2} - 3n = 2D[/tex]
[tex]n^{2} - 3n - 2D = 0[/tex]
Substituindo o valor de D na equação , temos:
[tex]n^{2} - 3n - 2.20 = 0[/tex]
[tex]n^{2} - 3n - 40 = 0[/tex]
Aplicando a fórmula de Baskara para calcular os valores de n. Então:
[tex]n = \frac{-b +- \sqrt{b^{2} - 4.a.c} }{2.a} = \frac{-(-3) +- \sqrt{(-3)^{2} - 4.1.(-40)} }{2.1} = \frac{3 +- \sqrt{9 + 160} }{2} = \frac{3 +- \sqrt{169} }{2}[/tex]
[tex]= \frac{3 +- 13}{2}[/tex]
[tex]n' = \frac{3 - 13}{2} = \frac{-10}{2} = - 5[/tex]
[tex]n'' = \frac{3 + 13}{2} = \frac{16}{2} = 8[/tex]
Conjunto solução da equação do segundo grau é S = {-5, 8}
Como o polígono é um objeto real, então o número de lados n = 8.
Prova:
Se o número de diagonais pode ser calculada por:
[tex]D = \frac{n(n -3)}{2}[/tex]
Substituindo n = 8 temos:
[tex]20 = \frac{8(8 - 3)}{2}[/tex]
[tex]20 = \frac{8.5}{2}[/tex]
[tex]20 = \frac{40}{2}[/tex]
[tex]20 = 20[/tex]
Portanto o número de lados do polígono é 8
Uma vez tendo encontrado o número de lados, podemos calcular a medida do ângulo interno.
O ângulo interno de um polígono regular pode ser calculado da seguinte forma:
[tex]I = \frac{(n - 2).180}{n}[/tex]
Onde n é o número de lados.
Aplicando a fórmula, temos:
[tex]I = \frac{(n - 2).180}{n} = \frac{(8 - 2).180}{8} = \frac{6.180}{8} = \frac{1080}{8} = 135[/tex]
Portanto um dos ângulos interno do polígono regular convexo de 8 lados é 135°.
OBS: Todos os ângulos internos de um polígono regular são iguais.
