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⠀⠀☞ Como o produto escalar de dois vetores não-nulos somente será nulo se o ângulo entre os vetores for de 90º então sendo aquele nulo teremos então que a projeção de um vetor sobre o outro também será nula pois esta também depende do cosseno do ângulo formado entre eles. ✅
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➡️⠀Vamos analisar dois vetores não nulos com seus pontos de origem em comum:
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[tex]\setlength{\unitlength}{0.95cm}\begin{picture}(6,5)\thicklines\put(0,0){\vector(1,0){9.7}}\put(0,0){\vector(4,3){5}}\bezier(0.9,0.65)(1.4,0.5)(1.4,0)\put(1.5,0.4){\LARGE$\Theta$}\put(9,0.2){\LARGE$\vec{\sf v}$}\bezier{40}(5,3.6)(5,1.50)(5,0)\put(3.5,3.5){\LARGE$\vec{\sf u}$}\put(2,-0.7){\LARGE$proj_{\vec{\sf u}}~\vec{\sf v}$}\put(7,3){\dashbox{0.1}(5,1){\text{\Large$proj_{\vec{\sf u}}~\vec{\sf v} = \sf cos(\Theta) \cdot |u|$}}}\end{picture}[/tex]
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➡️⠀Temos também que a equação para o produto escalar de dois vetores é dado pela equação:
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[tex]\Large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\vec{\sf u} \cdot \vec{\sf v} = \sf |u| \cdot |v| \cdot cos(\Theta)}&\\&&\\\end{array}}}}}[/tex]
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➡️⠀Desta forma observamos que a única possibilidade para que tal projeção seja nula é se o ângulo formado entre os vetores [tex]\vec{\sf u}[/tex] e [tex]\vec{\sf v}[/tex] for igual à 90º, pois desta forma teremos que:
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[tex]\LARGE\blue{\text{$\vec{\sf u} \cdot \vec{\sf v} = \sf |u| \cdot |v| \cdot \overbrace{\sf cos(90^{\circ})}^{= 0}$}}[/tex]
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[tex]\LARGE\blue{\text{$\vec{\sf u} \cdot \vec{\sf v} = \sf |u| \cdot |v| \cdot 0$}}[/tex]
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[tex]\LARGE\blue{\text{$\vec{\sf u} \cdot \vec{\sf v} = 0$}}[/tex]
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⭐ Tendo que Θ = 90º através do produto escalar então sabemos também que a projeção de [tex]\vec{\sf u}[/tex] em [tex]\vec{\sf v}[/tex] também será 0 pois esta também depende de cos(Θ), como queríamos demonstrar. ✅ ∴
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[tex]\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}[/tex]☁
⠀⠀☀️ Leia mais sobre vetores:
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[tex]\bf\large\red{\underline{\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad}}[/tex]✍
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[tex]\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}[/tex]☁
⠀⠀⠀⠀☕ [tex]\Large\blue{\text{\bf Bons~estudos.}}[/tex]
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([tex]\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios}[/tex]) ☄
[tex]\bf\large\red{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad }\LaTeX}[/tex]✍
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[tex]\Huge\green{\text{$\underline{\red{\mathbb{S}}\blue{\mathfrak{oli}}~}~\underline{\red{\mathbb{D}}\blue{\mathfrak{eo}}~}~\underline{\red{\mathbb{G}}\blue{\mathfrak{loria}}~}$}}[/tex] ✞
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