Temos a seguinte equação:
[tex]x . \frac{dy}{dx} = y + x {}^{2} . \sin(x) \\ [/tex]
A primeira coisa que devemos fazer é deixar essa equação na forma padrão, ou seja, o temos da derivada sem coeficientes, portanto:
[tex]\: \: \: \: \: \: \: \: \: \frac{x}{x} . \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \frac{x {}^{2} . \sin(x)}{x} \\ \\ \frac{dy}{dx} - \frac{1}{x} .y = x. \sin(x)[/tex]
Tendo feito isso, agora devemos associar essa equação a algum modelo analítico. Certamente você deve perceber que é uma equação linear de primeira ordem, dada por:
[tex] \: \: \: \: \: \: \: \: \frac{dy}{dx} + P(x).y = Q(x) \\ [/tex]
Quando temos uma equação deste tipo, devemos usar o fator integrante para resolver, que é dado por:
[tex] \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: i(x) = e {}^{ \int p(x) \: dx} [/tex]
Pela nossa equação, podemos perceber que o P(x) é igual a -1/x, logo temos que:
[tex]i(x) = e {}^{ \int - \frac{1}{x} dx} \: \: \to \: \: i(x) = e {}^{ - \ln( x)} \\ \\ i(x) = e {}^{ \ln( x) {}^{ - 1} } \: \to \: \: i(x) = x {}^{ - 1} [/tex]
Agora vamos multiplicar cada membro por esse fator integrante:
[tex] \left( \frac{dy}{dx} - \frac{1}{x} .y\right).x {}^{ - 1} = (x. \sin(x)).x {}^{ - 1} \\ [/tex]
Este primeiro membro é basicamente a derivada da multiplicação do fator integrante por y, então:
[tex] \: \: \: \: \: \frac{d}{dx} (y.x {}^{ - 1} ) = x {}^{1} .x {}^{ - 1} . \sin(x) \\ \\ \frac{d}{dx} (y.x {}^{ - 1} ) = \sin(x)[/tex]
Aplicando a integral em ambos os dados, temos que:
[tex] \int \frac{d}{dx} (y.x {}^{ - 1} )dx = \int \sin(x) \: dx \\ [/tex]
A integral da derivada é basicamente o conteúdo:
[tex]y.x {}^{ - 1} = \int \sin(x) \: dx \\ [/tex]
A Integral do seno é -cos(x), então:
[tex]y.x {}^{ - 1} = - \cos(x) + k[/tex]
Isolando o y, temos que:
[tex]y.x {}^{ - 1} .x = - \cos(x).x + k.x \\ y = - \cos(x).x + k.x[/tex]
Agora para encontrar a solução particular vamos usar a informação de que y(π) = 0, ou seja, quando x = π, y = 0, então:
[tex]0 = - \cos(\pi).\pi + k.\pi \: \: \to \: \: 0 = - 1\pi + k.\pi \\ \\ \pi =k. \pi \: \: \to \: \: k = \frac{\pi}{\pi} \: \: \to \: \: k = 1[/tex]
Substituindo essa informação:
[tex] \boxed{y = - \cos(x).x + x}[/tex]
Espero ter ajudado
