Resposta:
- A primeira é uma função de segundo grau ([tex]f(x)=x^2-5x+4[/tex]) e a segunda é uma função modular de segundo grau ([tex]f(x)=|x^2-5x+4|[/tex]);
- Para o intervalo [tex]1<x<4[/tex], a primeira função assume valores negativos enquanto a segunda assume valores positivos no mesmo intervalo;
- A imagem da primeira função é o intervalo [tex][-\frac{9}{4};+ \infty[[/tex] enquanto a imagem da segunda função é [tex][0;+\infty[[/tex]
Explicação passo a passo:
Note que o primeiro gráfico é uma equação de segundo grau. Analisando as raízes, que são [tex]x' = 1[/tex] e [tex]x''=4[/tex], temos, por soma e produto:
[tex]x'+x''=-\frac{b}{a}\\\\1+4=-\frac{b}{a}\\\\5=-\frac{b}{a} \quad\quad(I)[/tex]
[tex]x'\cdot x''=\frac{c}{a}\\\\1\cdot4=\frac{c}{a}\\\\4=\frac{c}{a}\quad\quad(II)[/tex]
Analisando [tex](I)[/tex] e [tex](II)[/tex], temos:
[tex]a=1[/tex], pois o primeiro gráfico tem concavidade voltada para cima;
Portanto:
Em [tex](I)[/tex]: [tex]5=-\frac{b}{1} \Rightarrow b=-5[/tex]
Em [tex](II)[/tex]: [tex]4=\frac{c}{1}\Rightarrow c = 4[/tex]
Portanto, a primeira função é:
[tex]f(x)=ax^2+bx+c\\\\f(x)=x^2-5x+4[/tex]
Analisando o ponto de vértice, temos:
[tex]V(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta}{4a})[/tex]
Substituindo os valores:
[tex]V_{x}= -\frac{-5}{2\cdot1}\\\\V_{x}= -(-\frac{5}{2})\\\\V_{x}=\frac{5}{2}[/tex]
[tex]V_y=-\frac{(-5)^2-4\cdot1\cdot4}{4\cdot1}\\\\V_y=-\frac{25-16}{4}\\\\V_y=-\frac{9}{4}[/tex]
Note que tanto a primeira função quanto a segunda possuem as mesmas raízes, interceptam o eixo das ordenadas no mesmo ponto; são idênticas, porém a segunda não assume valores negativos.
Disso, temos que a segunda função é uma função modular do segundo grau, da seguinte forma:
[tex]f(x)=|x^2-5x+4|[/tex]
Portanto, as diferenças são:
- A primeira é uma função de segundo grau ([tex]f(x)=x^2-5x+4[/tex]) e a segunda é uma função modular de segundo grau ([tex]f(x)=|x^2-5x+4|[/tex]);
- Para o intervalo [tex]1<x<4[/tex], a primeira função assume valores negativos enquanto a segunda assume valores positivos no mesmo intervalo;
- A imagem da primeira função é o intervalo [tex][-\frac{9}{4};+ \infty[[/tex] enquanto a imagem da segunda função é [tex][0;+\infty[[/tex]
